二项式定理常见的解题策略

2021-04-25 本文已影响0人天马无空

二项式定理有关问题，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.

类型一求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数

求二项展开式中的系数问题

使用情景：求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数
解题步骤：

第一步首先求出二项展开式的通项；
第二步根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；
第三步得出结论.
例1. $(1-2x)^4$ 展开式中第3项的二项式系数为（）
A．6 B．-6 C．24 D．-24
【答案】A
【解析】第三项的二项式系数为 $C_4^2=6$ ,选 $A$ .

【总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第 $x+1$ 项，再由特定项的特点求出 $x$ 值即可。

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.

类型二二项式系数的性质与各项系数和

二项式系数的性质与各项系数和

使用情景：二项式系数的性质与各项系数和
解题步骤：

第一步观察题意特征，合理地使用赋值法；
第二步区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；
第三步得出结论.

例2

(1)设 $(1＋x)^n＝a_0＋a_1x＋a_2x^2＋…＋a_nx^n$ ，若 $a_1＋a_2＋…＋a_n＝63$ ，则展开式中系数最大的项是(　　)
A． $15x^2$ B． $20x^3$ C． $21x^3$ D． $35x3$
(2)若 $\left(x+\cfrac{1}{x}\right)^n$ 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 $\cfrac{1}{x^2}$ 的系数为________．
【答案】 (1)B；(2)56.
【解析】