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概率题9

2020-12-22  本文已影响0人  Raow1
1. 三个滑雪者各自从山上滑下，每个人摔倒一次的概率为\frac{1}{3}，并且摔倒两次就会偏离轨道。如果已知至少有两个滑雪者至少摔倒了一次，求至少一个滑雪者到达终点的概率。

令A事件为没有滑雪者到达终点，B事件为至少有两个滑雪者至少摔倒了一次，所以有，
P(AB)= (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3})^3=\frac{1}{3^6}

P(B)=1 - (\frac{2}{3})^3 - 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times (\frac{2}{3})^2 - 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times (\frac{2}{3})^2 = \frac{3 \times 7}{3^4}
所以，
1- P(A|B)=1- \frac{P(AB)}{P(B)}= \frac{188}{189}

2. 四名参加考试的学生，独自解决一个问题犯错的概率为\frac{2}{5}，并且两次犯错会导致考试失败。 如果已知每个人至少犯了一个错误，则计算至少三名学生通过考试的概率。

令A事件为至少三名学生通过考试，B事件为每个人至少犯一个错误，所以有，
P(AB)=4 \times (\frac{2}{5} \times \frac{3}{5})^3 \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} + (\frac{2}{5} \times \frac{3}{5})^4 = \frac{16 \times 27 \times 11}{5^8}

P(B)= (\frac{2}{5} \times \frac{2}{5})^4 + 4 \times (\frac{2}{5} \times \frac{2}{5})^3 \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} + 6 \times (\frac{2}{5} \times \frac{2}{5})^2 \times (\frac{2}{5} \times \frac{3}{5})^2 + 4 \times (\frac{2}{5} \times \frac{2}{5}) \times (\frac{2}{5} \times \frac{3}{5})^3 + (\frac{2}{5} \times \frac{3}{5})^4 = \frac{16 \times 625}{5^8}
所以，
P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{297}{625}

3. 一位厨师准备三道菜，每道菜有\frac{2}{3}的概率会做坏掉——可能烧焦或者过咸。如果一道菜同时烧焦和过咸了，就不能食用，否则可以食用。如果已知每道菜都做坏掉了，求至少两道菜可以吃的概率。

这是个啥厨师，是个啥佶屈聱牙的题啊？

令A事件为有至少两道菜可以吃，B事件为每道菜都做坏掉了，所以有，
P(AB)= 3 \times (\frac{2}{3} \times \frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + (\frac{2}{3} \times \frac{1}{3})^3 = \frac{4 \times 14}{3^6}

P(B)= (\frac{2}{3} \times \frac{1}{3})^3+3 \times (\frac{2}{3} \times \frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + 3 \times (\frac{2}{3} \times \frac{2}{3})^2 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + (\frac{2}{3} \times \frac{2}{3})^3 = \frac{4 \times 54}{3^6}
所以，
P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{7}{27}

4. 三个滑雪者各自从山上滑下，每个人摔倒一次的概率为\frac{1}{4}，并且摔倒两次就会偏离轨道。如果已知每个滑雪者都至少摔倒了一次，求至少两个滑雪者到达终点的概率。

令A事件为至少两个滑雪者到达终点，B事件为每个滑雪者都至少摔倒了一次，所以有，
P(B)=(\frac{1}{4} \times \frac{3}{4})^3 + 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times (\frac{1}{4} \times \frac{3}{4})^2 + 3 \times (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4})^2 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4})^3 = \frac{64}{4^6}

P(AB)= 3 \times (\frac{1}{4} \times \frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} + (\frac{1}{4} \times \frac{3}{4})^3 = \frac{54}{4^6}
所以，
P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{27}{32}

5. 三个工人受雇挖土，每人有两把铲子，且工作时折断一把铲子的概率都为\frac{3} {4}。计算尽管有至少一个工人的两把铲子都折断了的情况下，仍然挖完了土的概率。

令A事件为挖土未完成，B事件为至少一个工人的两把铲子都折断了。所以有，
P(AB)=(\frac{3}{4} \times \frac{3}{4}) ^3 = \frac{729}{4096}

P(B)=1-(\frac{1}{4})^3- 3 \times (\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} - 3 \times (\frac{3}{4} \times \frac{1}{4}) ^2 \times \frac{1}{4} - (\frac{3}{4} \times \frac{1}{4}) ^3 = \frac{3753}{4096}
所以，
1-P(A|B)=1-\frac{P(AB)}{P(B)} = 1 - \frac{729}{3753} = \frac{112}{139}

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