Chapter3—多维随机变量及其分布

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1. 二维随机变量及其分布函数

二维随机变量的定义：

设 $S={e}$ 为试验 $E$ 的样本空间， $X=X(e),Y=Y(e)$ 是定义再 $S$ 上的两个随机变量，则称有序组 $(X,Y)$ 为二维随机变量

二维随机变量的联合分布函数：

性质：

$F(x,y)\in [0,1]$

$F(x,y)$ 对于每个变量都是单调不减函数。

$F(x,-\infty)=F(-\infty,y)=F(-\infty,-\infty)=0,F(+\infty,+\infty)$

$F(x,y)$ 对每个自变量都是右连续的。

$P(x_{1}< X\le x_{2},y_{1}< Y\le y_{2})=F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{2})-F(x_{2},y_{1})+F(x_{1},y_{1})$

2. 二维离散型随机变量分布

3. 二维连续型随机变量分布

二维联合概率密度函数：

性质：

$f(x,y)\ge 0$

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1$

$P((X,Y)\in D)=\int\int_{D}$ f(x,y)dxdy.

$f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 连续，则有
$\frac{\partial^{2}F(x,y)}{\partial x \partial y}=f(x,y)$

常见的二维连续性随机变量的分布：

4. 边缘分布

边缘分布定义：

二维随机变量 $(X,Y)$ 其分量 $X$ 与 $Y$ 也有自己的分布函数，记为 $F_{X}(x)$ 和 $F_{Y}(y)$ ，事实上：
$\begin{split}&F_{x}(x)=P(X\le x)=P(X\le x, Y<+\infty)=F(x,+\infty)\\ &F_{Y}(y)=P(Y\le y)=P(X\le +\infty,Y\le y)=F(+\infty,y) \end{split}$

二维离散型随机变量的边缘分布律：

二维连续型随机变量的边缘分布律：

边缘分布函数：

边缘概率密度函数：结合边缘分布函数推导

5. 二维随机变量的独立性

定义：

离散型随机变量的独立性：

连续性随机变量的独立性：

6. 二维随机变量函数的分布

问题：
设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量， $z=g(x,y)$ 是连续函数，则 $Z=g(X,Y)$ 也是一个随机变量，如何求 $Z$ 的概率分布呢？

离散型随机变量函数的分布：打表，相同的(X,Y)概率相加。

连续型随机变量函数的分布：

设二维连续性随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$ ，则随机变量 $Z=g(X,Y)$ 的分布函数为
$F_{Z}(z)=P(Z\le z)=P(g(X,Y) \le z)=\int\int_{g(x,y)\le z}f(x,y)dxdy$ 由此可得 $Z=g(X,Y)$ 的概率密度函数为
$f_{Z}(z)=\frac{dF_{Z}(z)}{dz}=\frac{d}{dz}(\int\int_{g(x,y)\le z}f(x,y)dxdy)$

常见的连续性随机变量函数分布：

$Z=X+Y$ 的分布：
$\begin{split}& f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx\end{split}$ 当 $X$ 与 $Y$ 独立时，有 $\begin{split}& f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(Z-Y)f_{Y}(y)dy\end{split}$ 正态分布的重要性质：

$Z= \min(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 和 $Z=\max(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 的分布：