图形的抽象

第六讲图形的抽象

阅读第六讲时，长度单位的确定，面积和体积的度量，这些内容都很吸引人。对一些数学史的了解 ，能丰富我们对数学的感知，对我们的教学是很有利的。

导读问题:

任选一个内容，说一说中国古代周朝的人们是如何利用几何知识认识世界的。

我的阅读理解

在中国古代周朝时期，人们已经开始利用几何知识来认识世界，比如通过日影的测量来确定“天下之中”或“地中”的位置。这一实践体现了他们对直角三角形、勾股定理和三角函数等几何知识的应用。

首先，周朝的人们通过观察日影的长度变化，发现了日影长度与地理位置（即纬度）之间的关系。他们在一年中的正午时分，测量垂直于地面的物体（如“表”）的日影长度。由于地球是一个近似球形的天体，太阳光线在地球表面形成的角度会随着地理位置的变化而变化，因此日影长度也会相应地变化。

在夏至这天，太阳直射北回归线，对于北半球而言，这是太阳高度角最大的一天。因此，在夏至正午时分，位于赤道以北的地区，日影会达到最短。而在赤道以南的地区，日影则会相对较长。通过测量不同地区夏至正午的日影长度，人们可以推断出这些地区的纬度位置。

为了确定“地中”的位置，周朝的人们选择了夏至这天进行测量。他们发现在登封告成这个地方，8尺高的“表”的日影长度正好是1.5尺。这个长度介于赤道附近日影为0尺和北极附近日影为3尺的两个极端之间。由于1.5尺是0尺和3尺的中点，人们认为这个地方就是“地中”，即天地之中、四时之交、风雨之会、阴阳之和的地方。

在这个过程中，周朝的人们实际上运用了直角三角形和勾股定理的几何知识。他们知道，当太阳光线与地面垂直时（即太阳高度角为90度），日影长度会达到最短，这个长度可以通过直角三角形的性质计算出来。同样地，当太阳光线与地面倾斜时（即太阳高度角小于90度），日影长度会增加，这个增加的长度也可以通过直角三角形和勾股定理来计算。

此外，周朝的人们还通过测量日影长度来推算其他地区的距离。他们认为，如果两个地方的日影长度相同，那么这两个地方就处于同一纬度线上，距离相等。这种推算方法虽然不够精确，但在当时已经是一种非常先进的地理测量技术了。

#每日金句

对于图形的研究，人们侧重研究图形的度量与变换。无论是度量还是变换，不仅需要抽象出研究对象的概念，还需要抽象出度量和变换的方法，这样的抽象比四则运算和极限运算的抽象更为繁杂，因为其中涉及许多人为因素，既涉及人们对空间的直觉，也涉及人们对自然的理解。

——史宁中，数学基本思想18讲［M］.北京：北京师范大学出版社，2016：62