两点间连线围绕其中一个点旋转一定角度之后的角度或线

2020-03-29  本文已影响0人  杨闯

在无意之中，想到了一个问题：
知道两个点，一个点是(x_1, y_1)，另外一个点是(x_2, y_2)，然后想让他俩之间的连线绕着点(x_1, y_1)逆时针旋转一定的角度θ，怎么能够求得旋转后的方向上的任意一个点的坐标。

最后有几种方法，其中一个方法是直接计算，另外一个方法是求得原来的角度再加上旋转的角度求得最后的线，求原来角度的时候，有的是通过arctan进行求得，有的是通过arcsin或arccos求得，如果有哪里不对，敬请指正

首先设两个点分别是 （x_1，y_1）和（x_2，y_2）

sinα = \frac{y_2-y_1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}} = β
cosα = \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}} = Ω

直接计算的算法

基本思路是：
1、旋转后的角度为 α + β
2、可以求得
x'_2 = x_1 + c × cos(α + β) = x_1 + c × (cosα ×cosβ - sinα ×sinβ)
y'_2 = y_1 + c × sin(α + β) = y_1 + c × (sinα ×cosβ +cosα × sinβ)

需要求α的算法

直接求α

α = arctan \frac{y_2 - y_1}{ x_2 - x_1 }

推导求

y_2和y_1进行比较 （sin结果） x_2和x_1进行比较（cos结果） 象限位置
> > 第一象限
> = 垂直向上
> < 第二象限
= > 水平向右
= = 两点重合
= < 垂直向下
< > 第四象限
< = 垂直向下
< < 第三象限

针对以上结果，完全水平活完全垂直的不做任何的计算，那么我们需要对第一、二、三、四象限的进行计算处理。

象限 α的结果
一 arcsin β 或 arccos Ω
二 π - arcsinβ 或 arccos Ω
三 \frac{π}{ 2 } - arcsinβ 或 π + (π - arccos Ω) = 2π - arccos Ω
四 arcsin β 或 - arccos Ω

求得具体的α之后加上θ角度知道最后的角度，就可以求得最后的线的任意一个点的位置。

所打数学公式参考：https://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics

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