第8课求解AX=b可解性和解的结构

2019-06-12 本文已影响0人 rascalpotato

目标： $AX=b$ ,有解或无解。有解包括唯一解或多解

方程组左侧各行的线性组合得到0，那么右侧常数相同组合必然也等于0

$\underbrace{ \left[\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&2&b_{1}\\2&4&6&8&b_{2}\\ 3&6&8&10&b_{3}\end{array} \right] }_{A}\\ \rightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&2&b_{1}\\0&0&2&4&b_{2}-2b_{1}\\ 0&0&2&4&b_{3}-3b_{1}\end{array} \right]\\ \rightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&2&b_{1}\\0&0&2&4&b_{2}-2b_{1}\\ 0&0&0&0&b_{3}-3b_{1}-b_{2}-2b_{1}\end{array} \right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&2&b_{1}\\0&0&2&4&b_{2}-2b_{1}\\ 0&0&0&0&b_{3}-b_{2}-b_{1}\end{array} \right]$
__可解性：__b满足什么条件，才能让 $AX=b$ 总有解？

从列向量看，当b属于A的列空间时，也就是b必须是A各列的线性组合
从行向量看，A各行的线性组合得到零行，b中元素的同样组合必然也是零

求 $AX=b$ 的所有解：
1.将所有自变量设为0，解出主变量（列二，列四同时为0），得到剔除后的方程：
$\left \{ \begin{array}{} x_1+2x_3=1 \\ 2x_3=3\end{array} \right.\Rightarrow \left \{\begin{array}{1}x_1=-2\\x_3=3/2 \end{array} \right.\\ X特解为向量(-2，0，3/2，0)$
2.零空间的所有 $X$
1+2为方程的所有解。

$X_{p}+X_{n}=A\\ \begin{eqnarray*} AX_P=b \tag{1.1} \\ AX_n=0 \tag{1.2} \end{eqnarray*}\\ (1.1)+(1.2) = A(X_P+X_n)=b+0=b\\ X_{complete}= \underbrace{\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}}_{X_{p}}+ \underbrace{ C_{1}\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+ C_{2}\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix} }_{X_{n}}$