MIT 线性代数 6.列空间和零空间

2022-05-26 本文已影响0人光能蜗牛

列空间

根据列空间的概念，我们可以更深入的了解关于 $AX=b$ 的问题
这里还是假设矩阵A= $\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}$

原矩阵方程可以写成 $\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x1\\x2\\x3\end{bmatrix}=b$
此时我们思考一个问题，由前面的矩阵乘法几种理解方式，我们可以知道b其实就是矩阵A的列空间的线性组合，如果能找到这样的组合方式就是x1，x2，x3，即认为有解
可见其实b只有刚好在矩阵A的列空间时，才认为是有解的，如果不在矩阵A的列空间，则无解。

零空间

首先是零空间的定义
零空间是说
$AX=0$ 的时候所有的 $X$ 解所构成的子空间
我们继续引用上面的矩阵
求解 $\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x1\\x2\\x3\end{bmatrix}=0$ 时，所有的X的解
可以解得X= $\begin{bmatrix}c\\c\\-c\end{bmatrix}$ ,可知X是一条过原点的直线空间

MIT 线性代数 6.列空间和零空间

列空间

零空间

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