矩阵基本概念

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矩阵
一个 n x m 矩阵 $M$ 是由 n 行 m 列数字组成的数组
方阵
如果矩阵的行数和列数相等，则称之为方阵
元素表示
$M_{ij}$ 表示矩阵第 i 行第 j 列的元素
对角元素
矩阵中下标 i = j 的元素称为对角元素
对角矩阵
对角元素不等于零的方阵称为对角矩阵
转置
一个 n x m 矩阵 $M$ 的转置矩阵表示为 $M^T$ ,是一个 m x n 矩阵， $M^T$ 的(i,j)元素等于 $M_{ji}$ ,即 $M_{ij}^T=M_{ji}$
$M=\left[ \begin{matrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} & M_{14} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} & M_{24} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} & M_{34}\end{matrix} \right]$
$M^T=\left[ \begin{matrix} M_{11} & M_{21} & M_{31} \\ M_{12} & M_{22} & M_{32} \\ M_{13} & M_{23} & M_{33} \\ M_{14} & M_{24} & M_{34}\end{matrix} \right]$
向量是一个 $n \times 1$ 的矩阵
标量乘法
给定标量 a 和矩阵 M ，他们的乘积 $aM$ 为 a 乘以每一个元素，计算如下:
$aM=Ma= \left [ \begin{matrix} M_{11} \times a & M_{12} \times a & … & M_{1m}\times a\\ M_{21} \times a & M_{22} \times a & … & M_{2m}\times a\\ … & … & … & … \\ M_{n1} \times a & M_{n2} \times a & … &M_{nm}\times a \end{matrix} \right ]$
矩阵加法
给定两个 n x m 的矩阵 M 和 G ，则他们的和 $M + G$ 为各对应元素相加，计算如下:
$M+G=\left [ \begin{matrix} M_{11} + G_{11}& M_{12} +G_{12}& … & M_{1m} +G_{1m}\\ M_{21} +G_{21}& M_{22} +G_{22}& … & M_{2m} +G_{2m}\\ … & … & … & … \\ M_{n1} +G_{n1}&M_{n2} +G_{n2}& … &M_{nm}+G_{nm} \end{matrix} \right ]$
矩阵乘法
当矩阵 F 的列数等于矩阵 G 的行数时，这两个矩阵可以相乘，如 F 是 n x m ，G 是 m x p ，则 $FG$ 是一个 n x p 矩阵，其中(i,j)元素的值为:
$(FG)_{ij}=\sum ^m_{k=1}F_{ik}G{kj}$
矩阵(i,j)元素可以看成是矩阵 F 的第 i 行和矩阵 G 的第 j 列对应向量的内积
单位矩阵
单位矩阵是一个 n x n 矩阵可以表示为 $I_n$ ,也可表示为 $I$ 因为单位矩阵的阶数可以由相关矩阵导出
对于任意 n x n 矩阵 $M，MI_n=I_nM=M$
定理 1 给定任意两个标量 a 和 b ,任意三个 n x n 矩阵 F、G、H,以下矩阵性质成立。
$F+G=G+F$
$(F+G)+H=F+(G+H)$
$a(bF)=(ab)F$
$a(F+G)=aF+aG$
$(a+b)F=aF+bF$
定理 2 给定任意标量 a ，任意一个 m x n 矩阵F,任意一个 n x p 矩阵G,任意一个 p x q 矩阵H以下性质成立
$(aF)G=a(FG)$
$(FG)H=F(GH)$
$(FG)^T=G^TF^T$

矩阵基本概念

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