相似矩阵

2019-03-25 本文已影响0人霞客环肥

例子：

比如同一场电影，你在第一排右侧看到的电影，和在最后一排中间看到的电影，画面又有不同。

第一排右侧：

image.png

最后一排中间：

image.png

这其实是相似矩阵的概念。

设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵，所有可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = B$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，或者 $A$ 和 $B$ 相似。

比如矩阵 $A$ :
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2\\ \end{bmatrix}$
求 $P$ 和 $B$ :
$\lambda$ 和 $v$ 分别是特征值和特征向量，
$\because Av = \lambda v$ ，则：
$(A - \lambda I)v = 0$
为了使这个方程式有非零解，矩阵 $(A - \lambda I)$ 的行列式必须是0：
$det(A - \lambda I) = 0$
即：
$det(\begin{bmatrix} 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{bmatrix}) = 0$
则：
$(2-\lambda)^2 -1 = 0$
分解得：
$(\lambda -1)(\lambda -3) = 0$
找到2个特征值， $\lambda = 1$ , $\lambda = 3$ ,

when $\lambda = 3$ :
$(A - \lambda I)v = 0$
即：
$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$
则：
$v_1 + v_2 = 0$
$v_1$ 和 $v_2$ 可以取任意值，我们取归一化的 $v_1$ 和 $v_2$ ，即： $v_1^2 + v_2^2 = 1$ ,
此时 $v_1 = \frac{-\sqrt{2} } {2}$ 和 $v_2 = \frac{\sqrt{2} } {2}$
$v = \begin{pmatrix}\frac{-\sqrt{2} } {2} \\ \sqrt{2} \over 2 \end{pmatrix}$

when $\lambda = 1$ :
$(A - \lambda I)v = 0$
即：
$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$
则：
$v_1 - v_2 = 0$
$v_1$ 和 $v_2$ 可以取任意值，我们取归一化的 $v_1$ 和 $v_2$ ，即： $v_1^2 + v_2^2 = 1$
此时 $v_1 = \frac{\sqrt{2} } {2}$ 和 $v_2 = \frac{\sqrt{2} } {2}$
$v = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2} } {2} \\ \sqrt{2} \over 2 \end{pmatrix}$