2018-04-27 开胃学习数学系列 - 克兰克尼科尔森方法

其实这个应该放在 FDM里面去记录的。只是我那部分写的太乱了。嗯，我每篇都写的很乱哈哈。

Both Euler's method are of first order, Crank-Nicholson (also called Trapezoidal method) is second order:

则通过克兰克－尼科尔森方法导出的差分方程是

第n步上采用前向欧拉方法与第n+1步上采用后向欧拉方法的平均值
（注意，克兰克－尼科尔森方法本身不是这两种方法简单地取平均，方程对解隐式依赖）

Crank-Nicholson是二阶的方法：

我暂时没有理解这个二阶的意思。

注意，这是一个隐式方法，需要求解代数方程组以得到时间域上的下一个u值。

• 如果偏微分方程是非线性的，中心差分后得到的方程依旧是非线性方程系统，因此在时间步上推进会涉及求解非线性代数方程组。
• 许多问题中，特别是线性扩散，代数方程中的矩阵是三对角的，通过三对角矩阵算法可以高效求解，这样，算法的时间复杂度由直接求解全矩阵的O(n^3）转化为 O(n)。

The local truncation error is

这个...和后向比较一下：

再和前向比较一下

设 f(t,y)=λy ,

克兰克－尼科尔森方法