Chapter5——定积分

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1. 定积分的概念

1.1 定义

设函数 $f(x)$ 在有界闭区间 $[a,b]$ 上有定义，在区间 $[a,b]$ 内任意加入 $n-1$ 个分点，分 $[a,b]$ 为 $n$ 个小区间。记这些小区间为 $[x_{i-1},x_{i}](i=1,2,\cdots, n)$ ，小区间的长度为 $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ ，任取 $\varepsilon \in [x_{i-1},x_{i}]$ ,作乘积 $f(\varepsilon_{i})\Delta x_{i}$ (微矩形的面积 ),记和为 $A=\sum_{i=1}^{n}f(\varepsilon_{i})\Delta x_{i}$ ，记 $\lambda =\max_{1\le i \le n}\{\Delta x_{i}\}$ ，若当 $\lambda\rightarrow 0$ 时， $\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\varepsilon_{i})\Delta x_{i}$ 存在为 $I$ ，且 $I$ 与分法无关，则称函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积， $I$ 是其定积分，记为
$I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\varepsilon_{i})\Delta x_{i}$

1.2 可积的必要条件

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

1.3 可积的充分条件

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上满足下列条件之一，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积

单调有界

连续

有界，且只有有限个第一类间断点

1.4 几何意义

定积分 $I=\int_{a}^{b}f(x)dx$ 的大小是函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴围成的面积的代数和

2. 定积分的性质

2.1 区间可加性

$\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$

2.2 估值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积，且有最大值 $M$ 和最小值 $m$ ,则
$m(b-a)\le\int_{a}^{b}f(x)dx\le M(b-a)$

2.3 积分中值定理

设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号，则在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\varepsilon$ ，使得
$\int_{a}^{b}f(x)g(x) dx=f(\varepsilon) \int_{a}^{b}g(x)dx$
推论：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则
$\exists \varepsilon\in [a,b],\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\varepsilon) 或\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\varepsilon)(b-a)$