由本征值计算本征向量

2020-04-06 本文已影响0人小李飞刀s3

最近需要求解任意本征值的本征矢量，目前有两种方法计算本征值，一种是传统的方法，另外一种是陶哲轩^[1]去年提出的一种方法。当然后来发现这种方法不是他首次提出，但是确实是一种新的思路。本次笔记就是为了展示如何用他的结论。例子也是他的论文找的。

陶哲轩

计算本征值

计算本征值很容易，例如对于矩阵 $M$ ,

$MX=\lambda X\implies (M-\lambda I)X=0\implies \det(M-\lambda I)=0$

方法简述

传统方法

$(M-\lambda I)X=0$
将计算的本征值带回原矩阵求一个代数方程即可。

陶哲轩新方法

$|v_{i,j}|^2 \prod_{k=1,k\neq i}^{n}\left(λ_i(A)-λ_k(A)\right)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(λ_i(A)-λ_k(M_j)\right)$

其中

$v_{i,j}$ 是特征值 $\lambda_{i}$ 对应特征向量的第 $j$ 个元素
$\lambda_{i}(A)$ 是矩 $A$ 的第 $i$ 个特征向量（本征向量、本征矢）
$M_{j}$ 为矩阵 $A$ 的第 $j$ 个余子式， $\lambda_{k}(M_{j})$ 是该余子式的第 $k$ 个特征值。

这种方法的好处是直接带公式就可以，缺点是需要多计算几个本征值。

示例

我们令

$M=\left[\begin{matrix} 1 &1 &-1\\ 1 &3 &1\\ -1 &1 &3 \end{matrix}\right]$
其本征值可以通过解方程得出，有三个，

$\lambda_{1}=0,\lambda_{2}=3,\lambda_{3}=4$

传统方法

传统方法，求解本征矢，对于 $\lambda=0$ ,我们有

$\left[\begin{matrix} 1-0 &1 &-1\\ 1 &3-0 &1\\ -1 &1 &3-0 \end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix}\right]=0$

$v_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{matrix} 2\\ -1\\ 1 \end{matrix}\right]$
同样的做法，我们可以知道

$v_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{matrix} 1\\ 1\\ -1 \end{matrix}\right]$
$v_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 0\\ 1\\ 1 \end{matrix}\right]$

陶哲轩方法

按照陶哲轩的方法，首先将不同的余子式表示出来

$M_{1}=\left[\begin{matrix} 3 &1\\ 1 &3 \end{matrix}\right],\quad \lambda_{11}=4,\quad \lambda_{12}=2$
$M_{2}=\left[\begin{matrix} 1 &-1\\ -1 &3 \end{matrix}\right],\quad \lambda_{21}=2+\sqrt{2},\quad \lambda_{22}=2-\sqrt{2}$
$M_{1}=\left[\begin{matrix} 1 &1 \\ 1 &3 \\ \end{matrix}\right],\quad \lambda_{21}=2+\sqrt{2},\quad \lambda_{22}=2-\sqrt{2}$

这样就可以依次求出系数了，

$|v_{1,1}|^2=\frac{(0-2)(0-4)}{(0-3)(0-4)}=\frac{2}{3}$
$|v_{1,2}|^2=\frac{(0-2-\sqrt{2})(0-2+\sqrt{2})}{(0-3)(0-4)}=\frac{1}{6}$
$|v_{1,3}|^2=\frac{(0-2-\sqrt{2})(0-2+\sqrt{2})}{(0-3)(0-4)}=\frac{1}{6}$

$|v_{2,1}|^2=\frac{(3-2)(3-4)}{(3-0)(3-4)}=\frac{1}{3}$
$|v_{2,2}|^2=\frac{(3-2-\sqrt{2})(3-2+\sqrt{2})}{(3-0)(3-4)}=\frac{1}{3}$
$|v_{2,3}|^2=\frac{(3-2-\sqrt{2})(3-2+\sqrt{2})}{(3-0)(3-4)}=\frac{1}{3}$

$|v_{3,1}|^2=\frac{(4-2)(4-4)}{(4-0)(4-3)}=0$
$|v_{3,2}|^2=\frac{(4-2-\sqrt{2})(4-2+\sqrt{2})}{(4-0)(4-3)}\frac{1}{2}$
$|v_{3,3}|^2=\frac{(4-2-\sqrt{2})(4-2+\sqrt{2})}{(4-0)(4-3)}=\frac{1}{2}$

可见该方法的不足是不能分辨正负。

https://arxiv.org/abs/1908.03795 ↩

由本征值计算本征向量

计算本征值

方法简述

传统方法

陶哲轩新方法

示例

传统方法

陶哲轩方法

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