材料力学：第四章

2019-03-26 本文已影响0人蓝冰星晴

切应力互等定理
在两个相互垂直的平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。
只有切应力、没有正应力的状态，称为纯切应力状态。
剪切胡克定律
当切应力小于等于切应力比例极限 $\tau_p$ 时，有 $\tau=G\gamma$ 。其中 $\tau$ 为切应力， $\gamma$ 为切应变， $E$ 为杨氏模量。则：
$G=\frac{E}{2(1+\nu)}$

平面假定与切应变分布规律
平面假定：圆轴受扭发生变形时，其横截面保持平面，并刚性地绕轴线转动一角度，两相邻截面的轴向间距保持不变。
变形协调方程： $\gamma(\rho)=\frac{\rho d\varphi}{dx}$
其中 $\frac{d\varphi}{dx}$ 为扭转角沿轴线 $x$ 的变化率，为常量。
即切应变与其到横截面中心的距离成正比。
横截面的切应力分布
$\tau_\rho=G\gamma_\rho=G\rho \frac{d\varphi}{dx}$
即切应力与其到横截面中心的距离成正比。
切应力分布
圆轴扭转时扭转角变化率，横截面上的切应力表达式
$M_x=\int_{A}(\tau_\rho dA)\rho \Longrightarrow \frac{d\varphi}{dx}=\frac{M_x}{GI_P}$
其中 $I_\rho =\int_{A}\rho ^2 dA$ 为极惯性矩， $GI_P$ 为扭转刚度。
$\tau(\rho)=\frac{M_x \rho}{I_P}$
则最大正应力 $\tau_{max}=\frac{M_x\rho_{max}}{I_P}=\frac{M_x}{W_P}$
常用极惯性矩：
圆截面 $I_p=\frac{\pi d^4}{32}$ ，圆环截面 $I_p=\frac{\pi D^4(1-\alpha ^4)}{32},\alpha =\frac{d}{D}$
常用扭转截面系数：
实心轴 $W_p=\frac{\pi d^3}{16}$ ，空心轴 $W_p=\frac{\pi D^3 (1-\alpha^4)}{16}$