对一类网络路径问题的思考

2019-05-28 本文已影响0人面包_y

1.简介Introduction

1.1网络路径问题

在一个网络 $G=(N,A)$ 中， $N$ 表示节点的集合， $A$ 表示弧段的集合。其中，一条弧段可表示为 $(i,j) \in A, \forall i,j \in N$ 。

1.2基本形式

Origin problem (P)
$\begin{array}{l} \min c^Tx \\ Ax \leqslant b \\ Cx \leqslant d \\ x = \left\{ {0,1} \right\} \end{array}$

其中 $Ax \leqslant b$ 是复杂约束， $Cx \leqslant d$ 是简单约束。

1.3例子

考虑一个带有路径长度约束的最短路问题，它具有如下形式
$\min \sum_{(i, j) \in A} c_{i j} x_{i j}\\ s.t.\sum_{\{j :(i, j) \in A \}} x_{i j}-\sum_{\{j :(j, i) \in A\}} x_{j i}=\left\{\begin{aligned} 1 & \text { for } i=1 \\ 0 & \text { for } i \in N \backslash \left\{1, n\right\} \\-1 & \text { for } i=n \end{aligned}\right. \\ \sum_{(i, j) \in A} t_{i j} x_{i j} \leq T\\ x_{i j}=0 \text { or } 1 \quad \text { for all }(i, j) \in A$

2.拉格朗日松弛技术(A LAGRANGIAN RELAXATION TECHNIQUE)

2.1 拉格朗日乘子问题

对于原始问题(P)，构造拉格朗日松弛/子问题(Lagrangian relaxation / Lagrangian subproblem)
$\begin{gathered} {\text{Minimize }}c^Tx + \mu ^T(Ax - b) \hfill \\ Cx \leqslant d \hfill \\ x = \left\{ {0,1} \right\} \hfill \\ \end{gathered}$

拉格朗日函数(Lagrangian Function)定义为：
$L(\mu)=\min \{c^Tx+\mu^T(Ax-b) : x \in X\}$

$X = \left\{ x|Cx \leqslant d,x = \left\{ {0,1} \right\} \right\}$ ，并且我们假定集合 $X$ 是有限的，所以 $X=\{x^1,x^2,\cdots,x^K\}$ 。

引理 (Lagrangian Bounding Priciple) 对于任意的拉格朗日乘子 $\mu$ ，拉格朗日函数 $L(\mu)$ 的值是原问题最优目标函数值 $z^*$ 的下界，即有
$z^{*} \geq \min \{c^Tx+\mu^T(Ax-b) : x \in X\}=L(\mu)$

拉格朗日乘子问题(Lagrangian multiplier problem)
$L^{*}=\max _{\mu \geq 0} L(\mu)$

2.2弱对偶性

(Weak Duality) The optimal objective function value $L^*$ of the Lagrangian multiplier problem is always a lower bound on the optimal objective function value of the problem (P). (i.e., $L^* \leq z^*$ ).

上述几个量之间的关系：
$L(\mu) \leq L^{*} \leq z^{*} \leq c ^Tx$

2.3 为什么要研究拉格朗日乘子问题

至少可以找到原问题的一个下界。

2.4 一个例子

这里以一开始的最短路问题为例。
$L(\mu)=\min \left\{c_{P}+\mu^T\left(t_{P}-T\right) : P \in \mathscr{P}\right\}$
这里做了一些简化，因为我们不需要把路径守恒约束放到拉格朗日函数中，这样，原问题解的形式可以用路径来表达，这里一条路径 $p$ 表示一系列 $x$ 的取值。通过枚举所有路径 $p$ 可以得到所有 $c_{P}+\mu\left(t_{P}-T\right)$ 的取值。

1558340610162.png

这样可以作出 $L(\mu)$ 的图像：

1558341703881.png

接下来两节会介绍次梯度法和割平面法求解拉格朗日乘子问题。

3.次梯度法 Bubgradient Optimization Technique

梯度法（爬山法）
$\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{f(x+\theta d)-f(x)}{\theta}=\nabla f(x) d$
选取方向 $d$ 使得 $\nabla f(x) d>0$ ，则 $d$ 就是“上山”方向。

次梯度法核心思想：不断按照一个迭代规则移动 $\mu$
$\mu^{l+1}=\left[\mu^{l}+\theta_{l}\left(Ax^{l}-b\right)\right]^{+}$

$x^l$ 是第 $l$ 次迭代中任意一个解。

在使用这个方法的时候，步长 $\theta_{l}$ 的选择较为重要。如果步长太小，算法会卡在一个地方不无法收敛；如果太大，则会漏掉最优解并且可能在两个或多个非优解之间来回。所以通过设置 $\theta_{l} \rightarrow 0$ 和 $\sum_{j=1}^{l} \theta_{j} \rightarrow \infty$ 使得算法在这两种极端情况中取一个平衡点。

4.割平面方法

我们首先引入辅助变量 $w$ ，拉格朗日乘子问题转变为：
$\begin{array}{l} & & max \ w \\ & s.t. & w \leq c^T x^{k}+\mu^T\left(Ax^{k}-b\right), \quad \text { for all } k=1,2, \ldots, K\\ & & \mu \geqslant 0 \end{array}$

这是一个决策变量是 $w$ 和 $\mu$ 的线性规划问题。我们考虑这个问题的对偶问题：

$\begin{array}{l} & & \min \;\sum\limits_{k = 1}^K {{c^T}{x^k}{\xi _k}} \hfill \\ & s.t. & \sum\limits_{k = 1}^K {{\xi _k}} = 1 \hfill \\ & & \sum\limits_{k = 1}^K {{{(A{x^k} - b)}_i}} {\xi _k} \geqslant 0,\;\forall i =1,2,\cdots,m\hfill \\ \end{array}$