高等代数理论基础69：线性函数

2019-04-19 本文已影响1人溺于恐

线性函数

定义：设V是数域P上的一个线性空间,f是V到P的一个映射,若 $\forall \alpha,\beta\in V,k\in P$ ,f满足

1. $f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta)$

2. $f(k\alpha)=kf(\alpha)$

则称f为V上的一个线性函数

性质：

1.设f是V上的线性函数

则 $f(0)=0$ , $f(-\alpha)=-f(\alpha)$

证明：

$f(0)=f(0\alpha)=0f(\alpha)=0$

$f(-\alpha)=f((-1)\alpha)=(-1)f(\alpha)=-f(\alpha)$

2.若 $\beta$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的线性组合

$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$

则 $f(\beta)=k_1f(\alpha_1)+k_2f(\alpha_2)+\cdots+k_sf(\alpha_s)$

例：

1.设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是P中任意数, $X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为 $P^n$ 中的向量

函数 $f(X)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$ 即P上的一个线性函数

当 $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ 时, $f(X)=0$ ,称为零函数,可用0表示零函数

注： $P^n$ 上的任一线性函数都可表成这种形式

令 $\varepsilon_i=(0,\cdots,0,\underset{第i个}{1},0,\cdots,0),i=1,2,\cdots,n$

$P^n$ 中任一向量 $X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 可表成 $X=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$

设f是 $P^n$ 上一个线性函数

则 $f(X)=f(\sum\limits_{i=1}^nx_i\varepsilon_i)=\sum\limits_{i=1}^nx_if(\varepsilon_i)$

令 $a_i=f(\varepsilon_i),i=1,2,\cdots,n$

则 $f(X)=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$ 即上述形式

2.A是数域P上一个n级矩阵

设 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

则A的迹 $Tr(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$ 是P上全体n级矩阵构成的线性空间 $P^{n\times n}$ 上的一个线性函数

3.设 $V=P[x]$ ,t是P中一个取定的数,定义P[x]上的函数 $L_t$ 为

$L_t(p(x))=p(t),p(x)\in P[x]$

则 $L_t(p(x))$ 为 $p(x)$ 在t点的值

$L_t(p(x))$ 是 $P[x]$ 上的线性函数

若V是数域P上一个n维线性空间,取定V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,对V上任意线性函数f及V中任意向量 $\alpha$

$\alpha=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$

有 $f(\alpha)=f(\sum\limits_{i=1}^nx_i\varepsilon_i)=\sum\limits_{i=1}^nx_if(\varepsilon_i)$ ,故 $f(\alpha)$ 由 $f(\varepsilon_1),\cdots,f(\varepsilon_n)$ 的值唯一确定

反正,任给P中n个数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ,定义V上一个函数f

$f(\sum\limits_{i=1}^nx_i\varepsilon_i)=\sum\limits_{i=1}^na_ix_i$

为一个线性函数,且 $f(\varepsilon_i)=a_i,i=1,2,\cdots,n$

定理：设V是P上一个n维线性空间, $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是V的一组基, $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是P中任意n个数,存在唯一的V上线性函数f,使 $f(\varepsilon_i)=a_i,i=1,2,\cdots,n$

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