4 不定积分

2020-03-10 本文已影响0人最远的地方00

一、原函数与不定积分的概念

例1 $\int x^2 dx$
$∵ (\frac{x^3}{3})' = x^2$
$∴ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} +C$

例2 $\int \frac{1}{x} dx$
$∵ x > 0 ，(\ln x)' = \frac{1}{x}$
$∴ \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$

$∵ x < 0 ，(\ln( -x))' = \frac{1}{x}$
$∴ \int \frac{1}{x} dx = \ln (-x) + C$

$∴ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$

第二节换元积分法

第一类换元法

例1 求 $\int 2 \cos 2x dx$
$\cos u =\cos2x，u = 2x$
因为 $u' = 2$ 恰好等于常数因子
$\int 2 \cos 2x dx = \int \cos 2x ·2 dx = \int \cos 2x·(2x)'dx$

$= \int \cos u du = \sin u + C$

在以 u = 2x 带入，即得
$\int 2 \cos 2x dx = \sin 2x + C$

第二类换元法

略

第三节部分积分法

第四节有理函数的积分

补充积分表

第五节集分表的使用

略

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