同济高等数学第七版2.1习题精讲（续四）

2019-10-22 本文已影响0人解冒号

13.求曲线 $y=cosx$ 上的点 $(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2})$ 处的切线和法线方程。

解：需要求出在该点的导数，并根据切线和法线方程的进行求解。
$y^|_{x=\frac{\pi}{3}}=\left.(-\sin x)\right|_{x=\frac{\pi}{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 故切线方程为：
$y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$
法线方程为：
$y-\frac{1}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 整理这件事呢，你就自己动个手吧。

14.求曲线 $y=e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程。

解：该点处的斜率为 $k=y'==e^x|_{x=0}=1$ ,所以切线方程为 $y-1=x$

15.在抛物线上 $y=x^2$ 上取横坐标为 $x_1=1$ 以及 $x_2=3$ 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

解：抛物线 $y=x^2$ 上横坐标为 $x_1=1$ 以及 $x_2=3$ 对应的纵坐标为 $y_1=1$ 和 $y_2=9$ ，所以这条割线的斜率为 $k=\frac{9-1}{3-1}=4$ ,所以抛物线上 $y=x^2$ 这个在 $x=2$ 处的导数（斜率）为4.所求点为 $（2，4）$

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