解析函数与柯西黎曼方程

2019-07-05 本文已影响0人爱思考的胖次呆

1、理论

若复函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 定义域为开集D，则 $f(z)$ 在区域D内解析的充要条件是 $u$ 和 $v$ 在D内连续可微，同时， $u$ 和 $v$ 满足CR方程（Cauchy-Riemann Equation）。

2、柯西-黎曼方程

假设复函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z_0=x_0+iy_0$ 处可微，则在 $z_0$ 处偏微分 $u_x, u_y, v_x, v_y$ 均存在，且满足：
$\begin{split} \begin{align} &u_x=v_y \\ &u_y=-v_x \end{align} \end{split} \tag{1}$

3、推导

3.1 充分条件

由于 $u$ 、 $v$ 的一阶偏微分存在且连续:
$\begin{split} \Delta u=\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial u}{\partial y} \Delta y+\alpha_1(\Delta z)\\ \Delta v=\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial v}{\partial y} \Delta y+\alpha_2(\Delta z) \end{split} \tag{2}$
CR方程：
$\begin{split} \frac {\partial u}{\partial x}=\frac {\partial v}{\partial y} \qquad \frac {\partial u}{\partial y}=-\frac {\partial v}{\partial x} \end{split} \tag{3}$
由(2)、(3)，可得：
$\begin{split} \begin{align} f(z+\Delta z)-f(z) & =\Delta u+i\Delta v \\ & = (u_x+iv_x)(\Delta x+i\Delta y)+\alpha_1(\Delta z)+i\alpha_2(\Delta z) \end{align} \end{split}$
于是：
$\begin{split} \begin{align} \lim_{\Delta \to 0} \frac {f(z+\Delta z)}{\Delta z}&=\lim_{\Delta z\to 0} \frac{(u_x+iv_x)(\Delta x+i\Delta y)+\alpha_1(\Delta z)+i\alpha_2(\Delta z)}{\Delta x+i\Delta y}\\ &=\lim_{x \to x_0}[\frac {\partial u}{\partial x}+\frac {\partial v}{\partial x}] \end{align} \end{split} \tag{4}$
由于 $u_x, v_x$ 在区域D内连续，所以(4)式中的极限存在，也即 $f(z)$ 的在D内解析。

3.2必要条件

由于 $f(z)$ 在D内解析，对于复函数而言，这等价于 $f(z)$ 在D内处处无穷可微。

另一方面，复函数在某一点可微，意味着在该点任意方向导数都应该相等，那么沿x，y轴方向的方向导数也应该相等。比如，在D内任取一点 $z_0=x_0+iy_0$ ，则：
$\lim_{h_x \to 0} \frac {f(z_0+h_x)-f(z_0)}{h_x}=\lim_{h_y \to 0} \frac {f(z_0+ih_y)-f(z_0)}{ih_y} \tag{5}$
其中， $h_x$ 和 $h_y$ 为实数，表示x和y轴的增量。

公式（5）的左边可以写成
$\begin{split} \begin{align} \frac {\partial f(z)}{\partial x}&=\lim_{h_x \to 0} \frac {f(z_0+h_x)-f(z_0)}{h_x}\\ \\ &=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0) \end{align} \end{split} \tag{6}$
公式（5）的右边可以写成
$\begin{split} \begin{align} \frac {\partial f(z)}{\partial y}&=\lim_{h_y \to 0} \frac {f(z_0+ih_y)-f(z_0)}{ih_y} \\\\ &=-i[u_y(x_0,y_0)+iv_y(x_0,y_0)] \end{align} \end{split} \tag{7} \\$
对比公式（6）和（7），可得
$\begin{split} \frac {\partial u}{\partial x}=\frac {\partial v}{\partial y} \qquad \frac {\partial u}{\partial y}=-\frac {\partial v}{\partial x} \end{split} \tag{8}$
公式（8）即为柯西-黎曼方程。