函数单元练习模板及样例

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函数单元练习模板及样例

模板

发现下列问题或者“语句”中的函数，并完成以下4个问题

研究其两域五性
画草图，说出两线五点（零点、端点、极值点、最值点、对称中心、对称轴、渐近线）。
求曲线y=f(x)的每一点处切线斜率表达式
如果f(x)表位移,x表示时间完成以下2个小问题
- 叙述位移与速度的关系
- 叙述加速度的变化规律

样例

语句:集合 $A=\{x|x^2-2x-8<0\}$

解：

发现函数：

$f(x)=x^2-2x-8$

两域五性

定义域：

对于任意实数x，f(x)都有意义，所以f(x)的定义域为R.

值域：

因为 $x^{2}-2x-8=(x-1)^2-9\ge-9$

故其值域为 $[-9,+\infty)$

周期性：

$\because$ 不存在非零常数T,使得对任意定义域内的x都有f(x=T)=f(x),

所以没有周期性。

奇偶性：

定义域关于原点对称

$f(-x)=(-x)^2-2(-x)-8=x^2+2x-8$

$f(x)=x^2-2x-8$

$-f(x)=-x^2+2x+8$

$\because f(-x)\ne f(x)$

$\therefore f(x)$ 不是偶函数

又 $\because f(-x)\ne -f(x)$

$\therefore f(x)$ 不是奇函数

综上f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

单调性：

f(x)是二次函数，图像为抛物线，开口向上，对称轴为x=1

减区间为： $(-\infty,1]$

增区间为： $(1,+\infty)$

有界性：

由值域可知，此函数

下确界: $-9$

上确界: 无

凸凹性：

表述1：

f(x)的图像为开口向上的抛物线

所以f(x)在R上是下凸

表述2：

$f`(x)=2x-2$

$f''(x)=2>0$

故f(x)在R上下凸。

表述3：

f(x)的图像为开口向上的抛物线，在图像上任一点处作切线，除切点外，其余点都在切线上方，所以f(x)在R上是下凸的。

表述4：

在R上任取 $x_1,x_2$ ,

$\because \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}-f(\frac{x_1+x_2}{2})=\frac{(x_1+x_2)^2}{4}\ge0$

$\therefore \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\ge f(\frac{x_1+x_2}{2})$

故f(x)在R上是下凸的。

两线五点

图像：

端点：无

极值点：1

零点：-2，4

最值点：1

对称中心：无

对称轴：x=1

渐近线：无

几何迁移

切线斜率的表达式： $f'(x)=2x-2$

物理迁移

位移与速度的关系：

$s=t^2-2t-8$

$v=2t-2$

$t=\frac{v+2}{2}$

$s=\frac{1}{4}v^2-9$

加速度的变化规律

$f''(x)=2$

加速度不变,始终是2，匀加速直线运动。

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