数学理智与感性直觉的连接——蒙提霍尔问题
首先请感受下三门问题（蒙提霍尔问题）：
假设你参加一个节目，很幸运获得上台抽奖的机会，你会看见a、b、c三扇道具门，其中一扇的后面有一辆汽车，猜中了车就可直接开走。而另两扇门后空无一物。这时，你选定了b，知道门后情形的主持人开启了剩下两扇门中的一扇a，空的。这时，主持人额外送了你一次改变的机会，问你是坚持选b，还是选另一扇门？
你会怎么选择呢？
正确答案：这时你从选B换成选另一扇门，猜中概率会高一倍！
哈哈，为什么呢？这是为什么呢？按常理，车就在剩下两扇里的某一扇，2选1即各50%的概率啊！明明是相同的机会，怎会改一次就能猜更准呢？猜中概率甚至比不改选时，还要高一倍！
下文走势：
一、贝叶斯定理如何计算三门问题
二、数学简便方法计算三门问题
三、直觉是怎样计算三门问题的
四、导致结论不同的关键矛盾点
五、不同的问法带来不同的结论
六、贝叶斯定理如何帮助日常决策
七、请你也应用贝叶斯定理，计算一个日常问题
这个故事原型的首次出现，是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的《Calcul des probabilités》一书中，当时该问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。
图源：https://www.thefire.org
历经多个版本的传承，引起举世关注的一次是普罗米修斯社团成员Marilyn vos Savant于1990年发表于《大观杂志》的回答。这位老兄以智商185之高而闻名。该问题从此成为热点。
最牛逼哄哄的一个论证，是用贝叶斯定理来计算概率。
贝叶斯定理公式
贝叶斯定理的公式表示：事件A发生的概率，受事件B的发生情况不同的影响，而有所不一样。
现在你选了b，依上一句来表述：选b门中奖的概率（初始值为1/3），受打开a门情况的不同影响，而有所不一样。
1.假设b门里有汽车，而a和c便都没汽车。这时，主持人可以任意选择打开a或打开c，打开a的概率是0.5
2.假设b门里没有东西，而车一定在a或c中之一。主持人知道门后情形，如果车在c，主持人开a的概率是1
受到打开a门这个新事件的影响，车在b门的概率会得到更新，得到车在b门的最新概率。事情到这您应该能完全接受吧？接下去更容易了。
车在b的最新概率=(车在b的原始概率×车在b时打开a的概率)÷(车在b的原始概率×车在b时打开a的概率+车在b的原始概率×车不在b时打开a的概率)
再放一个图重复一遍：
车在b的最新概率=
打不出分号只能做成图
此时，车不在b的最新概率=(车在b的原始概率×车不在b时打开a的概率)÷(车在b的原始概率×车在b时打开a的概率+车在b的原始概率×车不在b时打开a的概率)，即：
车不在b的最新概率=
然后代入数字即可
车在b门的概率
车在c门的概率
果然呐，如果你在台上改了主意，中奖的概率，还真的可以翻一倍哩！
哦？似乎还有小伙伴在云里雾里，没关系~
在此介绍另几种数学简便计算法。
你选了b之后，b门有车的概率就是1/3。将a门和c门打包来看，这两扇门门后有车的概率是2/3。之后排除了a后有车，那么，c门有车的概率仍然还是2/3。b门有车概率还是1/3。
又，不换相当于三选一，换了相当于三选二，三选二里主持人还给你剔除了一个选项，猜中概率能不变高吗？
如果用笨办法，每种情况都列举出来看，也一样是换选择后赢率高一倍。您可以试试~
一开始算出的1/2赢率，又是怎么得到的呢？
一开始三选一，选b是1/3的赢率。选c也是1/3的赢率。后来主持人排除了a之后，选a选c，换不换都一样，概率一样。
又或者这么想，主持人去掉了a之后，车在剩下两扇门之后，究竟在b还是在c，我仍然是不知道，二者有其一，当然二选一概率各1/2。
好像这么看看也对哦。虽然看上去是对的，但是仍然没有避免犯错。
错在哪？
错在忽视了主持人知道答案这一重要因素！我们的直觉没有去好好利用。而恰恰因为主持人知道答案，又因其知道答案而打开没车的a门这一举动，而提供了新的信息，又因着新信息的加入，而导致原有的概率分布格局得以变更。换一句话说，主持人打开空门a这一举动，其实是在给原本只有1/3赢率的c门加成，让c门的赢率上升为2/3。
神秘的大脑 图源于网络
由此可知，之所以会产生数学理性与感性直觉的断裂，就在于做感性直觉判断时，很难把字面以外的作用考虑在内。如。题目中主持人选择的a门，其实并不是主持人随机选择的，而是主持人在考量了门后答案的情况，又结合嘉宾的具体选择而产生。且，a门被排除，这一事件其实与c门后面有没有车这一情况，密切相关！这里的主持人，其实永远都会打开一扇空无一物的门。
用感性直觉得出换不换都是1/2赢率，换不换中奖概率都一样的，所犯之错误一言以蔽之：审题不清。
反过来，如果要让嘉宾最后不论换还是不换，赢率机会都是相等的1/2，即满足感性直觉者的答案，那么，
题目要该如何描述呢？
假设你参加一个节目，很幸运获得上台抽奖的机会，你会看见a、b、c三扇道具门，其中一扇的后面有一辆汽车，猜中了车就可直接开走。而另两扇门后空无一物。这时，你选定了b，知道门后情形的主持人开启了剩下两扇门中的一扇a，空的。这时，后台悄悄地再次随机摆放了两扇门后的车车。接着，主持人额外送了你一次改变的机会，问你是坚持选b，还是选另一扇门？
这道题的答案才是，换不换概率都一样，各1/2。就好比做三选一的选择题，去除一个错误选项和随机去除一个选项，其对正确答案被选出的概率影响是不同的。
其实，我们看贝叶斯定律的应用案例，仍然会发现自己边存在很多被偏见的概率。
大学化工学院师生吸毒案：
一日，警方接到某大学化工学院院长——张院长的报警。张院长称，由于管理不善，实验室里能用于偷制毒品的好几种原料被盗。警方遂带来了检测结果敏感度与可靠度均为99%的验毒仪器，吸毒者每次检测呈阳性(+)的概率为99%。而不吸毒者每次检测呈阴性(-)的概率为99%。似乎检测结果相当可靠？后来警方集结了该学院的所有师生一一进行检测，同一时间，刑警小马哥根据张院提供的被盗原料重量，推算出了能够制成冰毒的份数，够该院0.5%的人吸食。现在假设该院吸毒人数占该院总人数的0.5%。请问每位检测结果是阳性的学生或教师，其吸毒的概率有多高？
被测出阳性的人，他真正是吸毒者的概率，大约只有33%！警察叔叔，很容易错抓好人的好吗。呵呵，看似99%准确的仪器，对结论的判定准确率竟然只有33%，假阳性率这么高，也是醉了，够颠覆。
怎么算的呢？
吸毒者被检测出阳性的概率为99%
吸毒者在学院人数占比为0.5%
不吸毒者被检测出阳性的概率为1%
不吸毒者在学院人数占比为99.5%
找到吸毒者的准确率=
吸毒者准确率
意味着——假阳性率为66.78%
再练习一个吧~
一台针式发票打印机，其在良好状态下，根据以往的统计，打印出清晰发票的概率是90%。在打印机已经有零件脱落、轨道变形、针头磨损等等，濒临报废状态下时，其打印出清晰发票的几率是30%。又根据工作经验，整个工作室的打印机，五台里面总有一台是坏的（哭晕在厕所），濒临报废。所以，很多老职工开工前，都会下意识地试打印一张空号发票。请问，如果开工前，试打印的第一张发票是清晰的，那么，该打印机处于良好状态的概率是多少？
答案是92.3%~
啊，在开工前试打印一张发票，是多么重要的一件事啊！可以非常有效而准确地鉴定打印机的好坏，难怪老职工们都会这么做呢~
怎么算的？
良好状态下，打出清晰发票的概率为90%
遇到良好状态机器的概率为：80%
濒临报废状态下，打印出清晰发票的概率为30%
遇到濒临报废状态机器的概率为：20%
机器处于良好状态的真实概率=
可以放心开工的概率
真的是不过瘾啊，好想把各种问题都算一算~
最后，留给你一道思考题吧：
某大型医院开设了辅助生殖科，求诊患者络绎不绝。医院规定，挂辅助生殖科号的患者，若在当天早上9点前达到1000人，则该科的全部医务人员，中午能得到医院奖励的补贴——食堂大锅菜一份~据信息科领导敏大人公布的统计数据，早上9点前挂号数达到1000的天数出现几率为65%。敏大人又说，在早上9点前达到1000号的所有日期里，有75%的比例，挂号人数在早6点时就已超过200人。信息科王老师又说。每日9点前没到1000人的日子里，仍有18%的概率，在6点就满200人。
敏大人问你：若某天6:00am时，辅助生殖科已挂超过200人，则该日医务人员得到大锅菜奖励的几率有多少？
欢迎留言，告诉我你的答案！
