现代Hull-White模型

现代 Hull-White 模型（缩写为 HW 模型）有多种变体，但这里我们将重点介绍 GSR 模型。它被称为高斯短期利率模型（Gaussian Short Rate）或广义短期利率模型（Generalized Short Rate）。 GSR 模型的详细信息可以在 Andersen-Piterberg 书中找到。

现代HW模型与传统HW模型的区别如下。

1. 短期利率表示为高斯因子 x (t) 和Shift参数 Phi (t) 的总和。高斯因子遵循 Theta = 0 的传统 HW 模型。

2. 在未来时点贴现债券价格公式中，提前将 Theta 替换为今天的折扣债券价格。

3. 波动率参数 Sigma 应该是Piecewise Constant而不是平坦的。

对于1， 只将传统HW模型的参数Theta从高斯因子中分离出来，重新命名为Phi。这将偏于公式展开。

对于2， 如果有Theta的解析公式，从一开始就代入后使用。由于 Theta 的解释公式是使用今天的贴现债券价格来表示的，因此最终会使用在基准日市场上观察到的贴现债券价格来表示Theta。

对于3， 使在 HW 的原始论文中保持不变的参数 Sigma依赖于时间点。这增加了可以变动的参数数量，使拥有尽可能多的Bermudan Callable行使日期的 Sigma 与拥有相同数量的Co-terminal Swaption价格完美匹配。与传统HW模型不同的是，Kappa可以被设置为Flat，Sigma可以通过Bootstrap来计算出，无需进行Calibration。