由IRR看超越方程求解

生活中，我们可能遇到这样的情况，朋友小明向你借10000元，保证5个月连本带息还给你。假设你手上有如下两套方案：

| 方案1 | 方案2
----|----|---
第一月还款|3350 | 2100
第二月还款|3050 | 2100
第三月还款|2000 | 2100
第四月还款|1000 | 2100
第五月还款|1000 | 2100
总还款|10400 | 10500

如果单看收益/利息的话，毫无疑问应该选择方案2。那是否真的就是方案2更好？或者说如果某个方案更好，它相当于另一个方案好多少，能否量化？回答这个问题就需要用到IRR的知识。

IRR（ internal rate of return）内部收益率，是一种投资的评估方法，也就是找出资产潜在的回报率，其原理是利用内部回报率折现，投资的净现值恰好等于零。其求解公式如下：

---

Newton's method

牛顿法（Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

公式如下：

Bisection method

我的实现代码如下：

long double f(long double x)
{
    long double out = 0;
    for (int i = 0; i <= M; i++) {
        if (i == 0) {
            out -= c[i] * powl(x, M);
        }
        else
        {
            out += c[i] * powl(x, M-i);
        }
    }
    return out;
}

long double biSearch()
{
    long double left = precision, right = 2;
    while (fabsl(right - left) > precision) {
        long double mid = (right + left) / 2.0;
        long double fmid = f(mid),fleft = f(left);
        if (fmid * fleft > 0) {
            left = mid;
        }
        else
        {
            right = mid;
        }
        
    }
    return right;
}

这里left初始并没有取0，是为了防止取到IRR=-1而抛弃了其他更有意义的值。

Secant method

在数值分析中，割线法（Secant method）是一个求根算法，该方法用一系列割线的根来近似代替函数f的根。他和牛顿的算法思想相似，但实现方式不同，这种方法同样也有不收敛的情况。

公式如下：

演示

我的实现代码如下：

long double f(long double x)
{
    long double out = 0;
    for (int i = 0; i <= M; i++) {
        if (i == 0) {
            out -= c[i] * powl(x, M);
        }
        else
        {
            out += c[i] * powl(x, M-i);
        }
    }
    return out;
}

long double secant()
{
    long double first = precision, second = 2;
    while (fabsl(second - first) > precision) {
        long double f1 = f(first),f2 = f(second);
        long double next = second - f2 * (second - first) / (f2 - f1);
        first = second;
        second = next;
    }
    return second;
}

Microsoft Excel中求解IRR的公式就是用的这个算法，Excel中的精度是0.00001%。

Regula Falsi method

这种算法是针对前面Secant Method和Newton Method算法可能出现不收敛情况而提出的，它一定会收敛，并且相对于Bisection Method效率更高。

他的思想是在交换逼近方向的时候用一个系数（这里选2）去调整取值。公式如下（如果系数由1/2变为1，公式就和Secant Method一样）：

可以看到方案1的IRR＝1.69%，方案2的IRR=1.65%。方案1的虽然总利息少了，但是内部收益率更高。所以对于作为东家的自己来说选择方案1更优。

不仅限于上面的案例，类似的对于房贷还款，银行提供了等额本金与等额本息两种方式。客户往往倾向于等额本金方式，因为还款总利息更少。那么对于银行来说到底哪种方式对于他们来说更优？有了IRR和超越方程知识，我们也可以自己算一下😊。