ECC椭圆曲线加密算法(一)
随着区块链的大热，椭圆曲线算法也成了密码学的热门话题。在Bitcoin 生成地址 中使用到了椭圆曲线加密算法。
椭圆曲线
椭圆曲线的一般表现形式：
椭圆曲线其实不是椭圆形的，而是下面的图形：
椭圆曲线
Bitcoin使用了 secp256k1 这条特殊的椭圆曲线，公式是：
这个东西怎么加密的呢？
群(Groups)
19世纪挪威青年 尼尔斯·阿贝尔 从普通的代数运算中，抽象出了加群（也叫阿贝尔群或交换群），使得在加群中，实数的算法和椭圆曲线的算法得到了统一。额，是什么意思呢？
我们在实数中，使用的加减乘除，同样可以用在椭圆曲线中！
对的，椭圆曲线也可以有加法、乘法运算。
数学中的群是一个集合，我们为它定义了一个二元运算，我们称之为“加法”，并用符号+表示。假定我们要操作的群用𝔾表示，要定义的加法必须遵循以下四个特性：
-
封闭性：如果a和b都是𝔾的成员，那么a+b也是𝔾的成员。
-
结合律：(a + b) + c = a + (b + c);
-
单位元：存在确切的一个值，称之为单位元，0可以保证该等式成立 a+0=0+a=a
-
逆元。每个成员都有一个相反数：对于任意值a必定存在b使得a+b=0
如果在增加第5个条件：
交换律：a + b = b + a
那么，称这个群为阿贝尔群。根据这个定义整数集是个阿贝尔群。
岔开一下话题，伽罗瓦 与 阿贝尔 分别独立的提出了群论，他们并称为现代群论的创始人，可惜两位天才都是英年早逝。
椭圆曲线的群定义
如上文所说，我们可以基于椭圆曲线定义一个群。具体地说：
- 元素都在椭圆曲线上
- 单位元是无穷0点
- 点P的逆元与P关于X轴对称
- 加法由下列规则给出：给定三个共线的非零点 P、Q、R，则P+Q+R=0（无限远点）成立
椭圆曲线运算之加法
在椭圆曲线上有 不重合且不对称的 A 、B两点，两点与曲线相交于X点, X与x轴的对称点为R，R即为 A+B的结果。这就是椭圆曲线的加法定义。
因为椭圆曲线方程存在 项，因此椭圆曲线必然关于x轴对称
椭圆曲线加法运算
椭圆曲线的群律
曲线：，
坐标：A=(2,5)，B=(3,7)
A、B正好在曲线上，因为坐标满足曲线公式
那如何找到相交的第三个点呢？
通过 A、B两点确定直线方程，
设直线方程：，m为直线的斜率
进一步得到c=1。
联立方程：
X(-1,-1)的x坐标-1代入方式正好满足方程，所以A、B两点所在直线与曲线相交于 X(-1,-1)，则点X的关于x轴的对称点为R(-1,1)，即A(2,5)+B(3,5)=R(-1,1)。
根据椭圆曲线的群律(GROUP LAW)公式，我们可以方便的计算R点。
曲线方程：
当A=(x1,y1)，B=(x2,y2) ，R=A+B=(x3,y3)，x1≠x2时,
， m是斜率
x3=
y3=m(x1-x3)-y1
A=(2,5), B=(3,7) , R=(-1,1) 符合上面的公式。
椭圆曲线加法符合交换律么？
先计算(A+B)，在计算 A+B+C
A+B+C
先计算B+C， 在计算 B+C+A
B+C+A
看图像，计算结果相同，大家手动算下吧。
那 A + A 呢， 怎么计算呢？
定义乘法运算
当两点重合时候，无法画出 “过两点的直线”，在这种情况下，
过A点做椭圆曲线的切线，交于X点，X点关于x轴的对称点即为2A，这样的计算称为 “椭圆曲线上的二倍运算”。
随着两点越来越靠近，过两点的直线逐渐趋近于曲线的切线。
下图即为椭圆曲线乘法运算：
椭圆曲线乘法运算
我们将在ECC椭圆曲线加密算法(二) 介绍有限域，椭圆曲线的离散对数问题，椭圆曲线加密就是应用了离散对数问题。
参考：
https://eng.paxos.com/blockchain-101-foundational-math
https://eng.paxos.com/blockchain-101-elliptic-curve-cryptography
https://andrea.corbellini.name/2015/05/17/elliptic-curve-cryptography-a-gentle-introduction/
