统计学笔记5 置信区间

2020-06-23 本文已影响0人暴走TA

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样本均值 $\overline{X}=\frac{ \sum_{i=1}^nx_i}{n}$ 样本元素求和除以样本容量
样本方差 $S^2 =\frac{ \sum_{i=1}^n(x_i-\overline{X})^2}{n-1}$ (无偏)
样本标准差 $S=\sqrt{S^2}$
样本均值抽样分布均值 $\mu_{\overline{x}}$
Z值标准分数代表原始分数与团体的之差除以所得的商数 $Z=(x-\mu)/\sigma$
抽样分布的均值等于总体的均值即 $\mu_{\over x}=\mu$
当样本的容量大于30时我们可以假设抽样均值分布服从正态分布查询的是z表
当样本容量大于 30 总体的标准差 $\sigma$ 未知时可以使用样本的标准差 $S$ 来代替 ,求得样本均值分布的标准差
- $n$ 样本容量
- $\sigma$ 未知使用 $S$ 代替
- 样本均值分布标准差为 $\sigma_{\over x}=\frac{\sigma}{\sqrt n} \approx \frac{S}{\sqrt n}$
小样本（样本容量小于30）我们可以假设其服从于 t 分布这是因为容量太小，导致我们会低估标准差，所以假设其服从 t 分布
小样本的总体分布的标准差 $\sigma$ 还是使用样本的标准差 $S$ 来代替但是查询的是 t 表
查询概率时使用的是t表， t表有单侧和双侧之分
查询 t 表时要注意左侧的数值为 $n - 1$ 顶部的是单侧或双侧的概率
t 表双侧概率代表的是左右Z值中间的概率面积，查询得到的结果是均值左右的标准差数量（t分布是对称的）
t 表单侧概率代表的是 Z值左侧的概率面积，查询得到的结果是一个z值边界

置信区间

置信区间是一种常用的区间估计方法，所谓置信区间就是分别以统计量的置信上限和置信下限为上下界构成的区间。对于一组给定的样本数据，其平均值为μ，标准偏差为σ，则其整体数据的平均值的100(1-α)%置信区间为 $(\mu-Z_{\frac{\alpha}{2}}\sigma,\mu+Z_{\frac{\alpha}{2}}\sigma)$ ,其中α为非置信水平在正态分布内的覆盖面积，Ζ_α/2即为对应的标准分数。

就是说均值在百分之多少（例如95）的情况下，允许上下误差是多少，则 $(\mu-Z_{0.25}\sigma,\mu+Z_{0.25}\sigma)$ 。

Z 表查到的是 Z 值左侧的总面积。
t 表查到的分单侧和双侧
- 双侧代表的是左右 Z 值中间夹着的概率查到的是 Z 值的左右值 $(\pm Z)$
- 单侧代表的是 Z 值做的总体概率，查到的是右侧的 Z 值

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