SVM(2)

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点到直线距离

这里我们来看一看点 $(x_0,y_0)$ 到 $Ax + By + C = 0$ 直线的距离，点到直线距离公式是不是初中的知识点已经不记得了。

$f(x_0,y_0) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
对公式进行化简，
$\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} x_0 + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} y_0 + \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
其实点到直线方程就可以写出这个样子
$A\prime x_0 + B \prime y_0 + C \prime$
利用我们在前面学到直线表达式，就会得到
$(A\prime + B \prime ) \cdot \left( x_0,y_0 \right)^T+ C$
也就是 $\vec{w}^T \vec{x} + b$ ，不也就是一条直线那么，也就是将点到直线的距离直线，扩展到 n 维，w 为直线法线的方向然后我们对
$(w_1,w_2, \dots w_n)$
向量的模如下
$||w||_2 = (w_1,w_2, \dots w_n) \cdot (w_1,w_2, \dots w_n)^T$

$N = \{(x_1,y_1),(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n) \}$
$x_i \in \mathbb{R}$

$f(x,w,b) = 0$ 表示直线，假设已知 w 和 b 那么我们就得到一条直线

对于正例样本，对于所有正例样本其标签为 $y^{possive}$ 为 1，所以整数距离乘以 1 为整数
$\frac{w^{possive} x + b }{||w||} y^{possive}$
对于负例样本，对于所有正例样本其标签为 $y^{negtive}$ 为 -1，所以负整数距离乘以 -1 为正整数。
$\frac{w^{negtive} x + b }{||w||} y^{negtive}$

$\frac{w x^{i} + b }{||w||} y^{i}$
这是所有样本到分割平面距离，我们接下来就要找距离分割平面最近点
$\min_{i=1,2 \dots n} \frac{w x^{i} + b }{||w||} y^{i}$
这是表示所有样本点 $（x_i,y_i）$ 到某一条直线 $f(w_j,b_j)$ 的最近点，

$max( \min_{i=1,2 \dots n} \frac{w_j x_{i} + b_j }{||w||} y^{i} )$
到样本最近距离取最大，这就是 SVM 的任务。我们现在用数学公式表达了 SVM 的任务，就是找到距离分割平面点的间隔最大值。

那么我们现在将问题扩展到 n 维特征空间， $W^TX + b$ 这里 W 和 X 是 n 维，
$d = \frac{|W^T + b|}{||w||}$

$y(x) = w^T \Phi(x) + b$
这里解释一下 $\Phi$ 主要是样本的特征一种映射，将样本 $x^i$ 的 $(x_1,x_2,x_3)$ 三维特征映射到下面多维特征向量
$\Rightarrow (1,x_1,x_2,x_3,x_1^2,x_2^2,x_3^2,x_1x_2,x_2x_1,x_3x_1,x_3x_2)$
将原始特征通过 $\Phi$ 就变成了更多的特征，对数据的特征进行可能特征映射。做一阶 $\Phi$ 就是特征向量本身。
求解分割平面问题其实就是凸二次规划问题

推导目标函数

$y(x) = w^T \Phi(x) + b$
其中y(x) 表示第i样本估计值，我们知道位于分割面法线方法为y(x)为正那么其真实值为1 ,f(x) 和 y 相乘为正，反之亦然。
$\begin{cases} f(x_i) > 0 \Leftrightarrow y_i = 1 \\ f(x_i) < 0 \Leftrightarrow y_i = -1 \end{cases} \Leftrightarrow y_i f(x_i) > 0$
下面是点到直线距离公式
$\frac{y_i \cdot f(x_i)}{||w||} = \frac{y_i \cdot (w^T \cdot \Phi(x_i) + b)}{||w||}$

下面公式 arg 表示对于 $y_i \cdot (w^T \cdot \Phi(x_i) + b)$ 这样距离对所有点求最近在求最远。
$arg \max_{w,b} \{ \min_i \frac{1}{||w||}[y_i \cdot (w^T \cdot \Phi(x_i) + b)] \}$
$arg \max_{w,b} \{ \frac{1}{||w||} \min_i [y_i \cdot (w^T \cdot \Phi(x_i) + b)] \}$
我们需要求 w 和 b 来满足上面目标函数，怎么优化是比较麻烦，

$w = (w_1,w_2, \dots w_k)$
$||w|| = (w_1,w_2, \dots w_k)(w_1,w_2, \dots w_k)^T$

化简目标函数

其实我们这些支持向量点到分割平面一定是一个参数假设是 C 那么他们距离表示是将这些支持向量点带入上面点到直线方程，因为可以对直线做线性变换除以一个常量 C
$\frac{y_i (w^T \Phi(x_i) + b)}{||w||} = C$
$\frac{y_i (w^T \Phi(x_i) + b)}{C||w||} = 1$
w 向量乘上常数 C 后方程是没有变化的。等比例缩放 w 总是可以办到。就可以将距离直线距离取 1。
总可以通过等比缩放w方法，使得函数值满足 $|y \ge 1|$
$y_i (W^T \Phi(x_i) + b ) \ge 1$
如果满足上面条件那么 $y_i (W^T \Phi(x_i) + b )$ 最小值就是 1 将 1 带入上面方程
$\arg \max_{w,b} \frac{1}{||w||}$
$s.t. y_i (W^T \Phi(x_i) + b ) \ge 1 , i = 1,2, \cdots , n$

$\max_{w,b} \frac{1}{||w||}$
$s.t. y_i (W^T \Phi(x_i) + b ) \ge 1 , i = 1,2, \cdots , n$

$\max_{w,b} \frac{1}{||w||}$ 就等价于 $\min_{w,b} ||w||^2$

$\Rightarrow \min_{w,b} \frac{1}{2}||w||^2$
$s.t. y_i (W^T \Phi(x_i) + b ) \ge 1 , i = 1,2, \cdots , n$

SVM(2)

点到直线距离

推导目标函数

化简目标函数

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