高中数学纲目

解析几何之目：2022年新高考数学卷题21

2022-06-10 本文已影响0人易水樵

2022年新高考数学卷题21

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \,(a \gt b \gt 0)$ 过点 $(0,1)$ , 离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

（1）求椭圆 $C$ 的标准方程;

（2）直线 $y=k(x+1)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，过 $AB$ 作直线 $l:x=-2$ 的垂线，垂足分别为 $M,N$ ，点 $G$ 为线段 $MN$ 的中点， $F$ 为椭圆 $C$ 的左焦点．求证：四边形 $AGNF$ 为梯形.

【解答问题1】

$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow e^2=\dfrac{1}{2} \Rightarrow b^2=c^2=\dfrac{a^2}{2}$

椭圆 $C$ 过点 $(0,1) \Rightarrow b^2=1$

$\Rightarrow c^2=1, a^2=2$

椭圆 $C$ 的标准方程为： $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ .

【解答问题2】

根据前节结论， $a=\sqrt{2},c=1$ ,

左焦点为 $F(-1,0)$ ,

直线 $y=k(x+1)$ 过点 $F$ , 是焦点弦；

记直线 $AB$ 的倾角为 $\theta$ , 则 $FA=\dfrac{a(1-e^2)}{1-e \cos\theta},\; FB=\dfrac{a(1-e^2)}{1+e \cos\theta}$

$x_{_A}=-1+ \dfrac{a(1-e^2)\cos\theta}{1-e \cos\theta}$

$y_{_A}=\dfrac{a(1-e^2)\sin\theta}{1-e \cos\theta}$

$x_{_A}=-1 - \dfrac{a(1-e^2)\cos\theta}{1+e \cos\theta}$

$y_{_B}= -\dfrac{a(1-e^2)\sin\theta}{1+e \cos\theta}$

$y_{_G}= \dfrac{1}{2} (y_{_M}+y_{_N}) = \dfrac{1}{2} (y_{_A}+y_{_B})$

$k_{_{AG}} = \dfrac{y_{_G}-y_{_A}}{x_{_G}-x_{_A}} = \dfrac{y_{_A}-y_{_B}}{2x_{_A}+4}$

$k_{_{FN}} = -y_{_B}$

代入数值可得：

$y_{_A}-y_{_B}=\dfrac{4\sqrt{2}\sin\theta}{4-2\cos^2\theta}$

$2x_{_A}+4=\dfrac{4}{2-\sqrt{2}\cos\theta}$

$-y_{_B} (2x_{_A}+4)=\dfrac{4\sqrt{2}\sin\theta}{4-2\cos^2\theta}$

∴ $y_{_A}-y_{_B}=-y_{_B} (2x_{_A}+4)$

∴ $k_{_{AG}}=k_{_{FN}}$

∴ $AG // FN$

又 ∵ 直线 $l$ 与 $y$ 轴平行，直线 $AB$ 与 $y$ 轴不平行，∴ 直线 $l$ 与 $AB$ 不平行，

∴ 四边形 $AGNF$ 是梯形. 证明完毕.

【提炼与提高】

直线 $y=k(x+1)$ 过点 $F$ , 是焦点弦；借用椭圆的极坐标方程解答此题，效率是比较高的.

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