排列组合

排列组合，简单的说，就是一个计数问题。

我们从小时候就学过数数，一个苹果，两个苹果，但是现在对于稍微复杂一点的计数就有点不知所措了，其实，再复杂的排列组合都可以从简单的例子找到根源，记住公式是没有作用的，记住了也不会用，唯有理解计数的本质，做到不遗落，不重复。

计数，就是把一个物体的数量与整数对应起来，一首扑克54张，4种花色，13个牌面，再加上两张大小王，构成了54张牌，这里没有遗落，也没有重复，这就是简单的计数。

现在思考一个植树问题，再10米长的马路上，每隔一米种一棵树，那么需要种多少棵树？这个问题很简单，但我一开始以为就是10棵树，一米一棵树，多么简单的道理啊。然而，我错了，0米处也可以种一棵树，所以树的棵树就是11颗。这里就有了遗落，造成了计数的错误。其实只要把米数与树的棵树对应起来就好了，0米一棵树，1米两棵树，，，10米11棵树，把这个作为一个普遍规则来看就能抽象出一个n米n+1棵树的规律。

要对多个集合计数，就要使用加法，比如说上面的扑克牌，就是把牌分为大小王和普通牌，相加就得出牌的总数。在这里有一个比较重要的法则--容斥原理。例如，在1-13中，2的倍数有6个，3的倍数有4个，既是2的倍数，又是3的倍数有两个，那么根据容斥原理，或者是2的倍数，或者是3的倍数有6+4-2=8个。在容斥原理里，最重要的就是不要重复。

要对多个相关集合计数，就要使用乘法。在用上面的扑克牌为例，13种牌面，4种花色，得出普通牌的总数为13*4=52张。

再来看一些稍微复杂一点的数。首先思考一下，把ABC三张牌按照各种顺序排列，共有多少种排法？显然6种。ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，只要做到不重复不遗落，数数总是不会出错的。但从计数的角度看，我们应该这样计算，第一次可以取出3种牌，第二次可以取出2种牌，第三次可以取出1种牌，总计321=6种。这在数学上称为置换，计算方法是用阶乘。阶乘可是会随N的增大而爆炸式增长的。

再来看看今天的重点，排列。从手上 ABCDE 5种牌中抽取3张牌排列，有多少种排法？当然可以把所有的排法写出来，然后用最简单的计数得出排列数，但我们最好还是不要这样做。用刚才置换的思路来看看，第一次可以抽取5种牌，第二次可以抽取4种牌，第三次可以抽取3种牌，总计543=60种排列方法。从这个例子中抽象就可以得到排列的一般定义，从n张牌中抽取k张按一定顺序排列就叫排列，排列的总数为n(n-1)(n-2)...(n-k+1)，用阶乘表示就是n!/(n-k)!，公式不必要记，毕竟光看公式多少有点晦涩难懂，只要理解了排列的意义，抽象出来就是这个公式了。或者，如果难以理解，可以尝试用树形图来列出排列，图形化的思考方法就比较好理解吧。

排列总是和组合连在一起，是的，组合就是排列的一种特殊情况，组合就是排列不考虑顺序的一种计数方法。既然这样，那我们计算组合数可以先计算排列数，然后除以重复度，这不就是组合数吗。归纳一下就是n!/(n-k)!k!，k!就是指的是重复度，就是前面置换的排列数。

排列组合就是这样简单，根本不需要去绞尽脑汁记住公式。

写给高考的孩子看的。