数列

2019-11-10 本文已影响0人洛玖言

数列

等差数列

定义

$a_n-a_{n-1}=d$
$a_n=a_1+(n-1)d$
$a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$
$a_{n-k}+a_{n+k}=2a_n$

设 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和
$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$
$a_n=S_n-S_{n-1}$

例题 1

（2016 年江苏高考，理 8）已知 $\{a_n\}$ 是等差数列， $S_n$ 是其前 $n$ 项和. 若
$a_1+a_2^2=-3,\;S_5=10$ ，则 $a_9$ 的值是______.

Sol:
$S_5=5a_3=10\Rightarrow a_3=a_2+d=2\Rightarrow d=2-a_2$
$a_1+a_2^2=a_2-2+a_2+a_2^2=-3\Rightarrow a_2=-1$
$\therefore d=3\Rightarrow a_9=a_2+7d=20.$

例题 2

（2016 年课标全国Ⅰ，理 3）已知等差数列 $\{a_n\}$ 前 9 项的和为 27， $a_{10}=8$ ，则 $a_{100}=(\quad )$
$A.100\quad B.99\quad C.98\quad D.97$

Sol:
依题意知 $S_9=9a_5=27\Rightarrow a_5=3$
$a_{10}=a_5+5d=8\Rightarrow d=1$
$\therefore a_{100}=a_{10}+90d=98$
因此选 C.

等比数列

定义

$\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q\not=0$
$a_n=a_1q^{n-1}$
$a_{n-1}a_{n+1}=a^2_n$
$a_{n-k}a_{n+k}=a^2_n$

设 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和
$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\dfrac{a_1(1-q^{n})}{1-q}$
$a_n=S_n-S_{n-1}$

例题 3

（2013 年全国大纲卷，理 6）已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $3a_{n+1}+a_n=0,\,a_2=-\dfrac43$ ，则 $\{a_n\}$ 的前 10 项和等于（）

$\begin{aligned} &\mathbf{A}.-6(1-3^{-10})\\ &\mathbf{B}.\dfrac19(1-3^{-10})\\ &\mathbf{C}.3(1-3^{-10})\\ &\mathbf{D}.3(1+3^{-10}) \end{aligned}$

Sol:
$3a_{n+1}+a_n=0\Rightarrow \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=-\dfrac{1}{3}$
$a_2=-\dfrac{1}{3}a_1\Rightarrow a_1=4$
$S_{10}=\dfrac{4(1-(-\dfrac13)^{10})}{1-(-\dfrac13)}=3(1-3^{-10})$
所以选 C

错位相减法

等比数列前 $n$ 项的和的公式推导.

取倒数法

例题 4

（2015 年课标全国Ⅱ，理16）设 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前项和，且 $a_1=-1,a_{n+1}=S_nS_{n+1}$ ，则 $S_n=$ ________.

Sol:
$a_{n+1}=S_nS_{n+1}\Rightarrow S_{n+1}-S_n=S_nS_{n+1}$
$\Rightarrow\dfrac{1}{S_{n+1}}-\dfrac{1}{S_n}=-1$

$\therefore \{\dfrac{1}{S_n}\}$ 是公差为 -1 的等差数列.
$\dfrac{1}{S_n}=-n\Rightarrow S_n=-\dfrac{1}{n}$

分奇偶（较难）

例题 5

（2013 年湖南高考，理 15）设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，
$S_n=(-1)^na_n-\dfrac1{2^n},\,n\in\mathbb{N^*}$ ，则
(1) $a_3=$ ______ .
(2) $S_1+S_2+\cdots+S_{100}=$ ______.

Sol:
（1）

$\begin{cases} S_n=(-1)^na_n-\dfrac1{2^n},&①\\ S_{n-1}=(-1)^{n-1}a_{n-1}-\dfrac{1}{2^{n-1}},&② \end{cases}$

当 $n$ 为偶数时，①-②，得 $a_n=a_n+a_{n-1}+\dfrac{1}{2^n}$
则 $a_{n-1}=-\dfrac{1}{2^n}\Rightarrow a_3=-\dfrac{1}{2^4}=-\dfrac{1}{16}$

（2）

$S_n=(-1)^n(S_n-S_{n-1})-\dfrac{1}{2^n}$
当 $n$ 为偶数时，则 $S_n=S_n-S_{n-1}-\dfrac{1}{2^n}\Rightarrow S_{n-1}=-\dfrac{1}{2^n}$

当 $n$ 为奇数时，则 $S_n=S_{n-1}-S_n-\dfrac{1}{2^n}$
得 $S_{n-1}=2S_n+\dfrac{1}{2^n}=0$

即，当 $n$ 为偶数时 $S_n=0$
当 $n$ 为奇数时 $S_n=-\dfrac{1}{2^{n+1}}$

首项 $S_1=-\dfrac{1}{4}$ ，尾项 $S_{99}=-\dfrac{1}{2^{100}}$ ，公比 $q=-\dfrac{1}{4}$

所以
$\begin{aligned} T_{100}=&S_1+S_2+\cdots+S_{100}\\ =&\dfrac{-\dfrac14(1-(-\dfrac14)^{100})}{1-\dfrac14}\\ =&\dfrac13(\dfrac1{2^{200}}-1) \end{aligned}$

待定系数法

$a_n=2a_{n-1}+1,\,a_1=1$ ，求 $a_n$

Sol:
$a_n+1=2(a_{n-1}+1)\Rightarrow\dfrac{a_n+1}{a_{n-1}+1}=2$
$\therefore\{a_n+1\}$ 是公比为 2 的等比数列.
$\therefore a_n+1=2^n\Rightarrow a_n=2^n-1\;(n\geqslant2)$
当 $n=1$ 时， $a_1=2^1-1=1$
所以综上所述 $a_n=2^n-1$

结论

$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
$1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$

裂项

$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
$n\cdot n!=(n+1)!-n!$
$\dfrac{n}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{(n+1)!}$
$\dfrac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}=\dfrac{1}{(n+1)!}-\dfrac{1}{(n+2)!}$

$\dfrac{4n-5}{5^n}=\dfrac{5n-5-n}{5^n}=\dfrac{n-1}{5^{n-1}}-\dfrac{n}{5^n}$

$\begin{aligned} &\dfrac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}\\ =&\dfrac{n+2}{n!(n+2)+(n+2)!}\\ =&\dfrac{1}{n!+(n+1)!}\\ =&\dfrac{1}{n!(n+2)}=\dfrac{n+1}{(n+2)!}\\ =&\dfrac{n+2-1}{(n+2)!}\\ =&\dfrac{1}{(n+1)!}-\dfrac{1}{(n+2)!} \end{aligned}$

数列

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