通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(一)

2019-07-20 本文已影响0人胡文祥lyy

1，什么是傅里叶级数

什么是级数？

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是:
$\sum_{n=1}^\infty 1/n^2=1/1^2+1/2^2+1/3^2+......+1/n^2$
这种由很多项相加的形式就是级数。

对于函数就是如下这个形式：
$f(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)$

如何用级数表达一个周期函数

在工程中，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他，或者原函数无法很好的去分析波的特征。

image.png

所以我们需要找到一个函数 $g(x)$ 去近似原函数 $f(x)$ ，而且这个 $g(x)$ 有很好的特性，方便去做分析。

法国数学家傅里叶就发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。
看一个动图来理解下这句话。

Fourier_series_square_wave_circles_animation

右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。

下面给出傅里叶级数的数学公式。
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$

原函数 $f(x)$ 就由无数个 $\sin,\cos$ 组成的。这个公式理解起来也很简单， $\frac{a_0}{2}$ 是个常数项，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动，想要让其脱离0点，就必须加入 $\frac{a_0}{2}$ 这个偏移项，当然你也可以理解为 $\frac{a_0}{2}\cos(0x)$ 。
$\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$ 便是无数个sin和cos的组合，其中 $a_n,b_n$ 就相当于上面动图中的 $\frac{4}{\pi },\frac{4}{3\pi },\frac{4}{5\pi },\frac{4}{7\pi }$ 代表着振幅，也就是圆半径的大小。 $\frac{2\pi n}{T}$ 就相当于动图中的 $\theta$ 前的系数1，3，5，7代表着频率，也就是圆转一圈用的速度。so，是不是很容易理解。
$\frac{2\pi n}{T}$ 代表这频率，那其中的 $T$ 代表着什么呢？ $T$ 就是函数 $f(x)$ 的周期， $\frac{2\pi n}{T}$ 的作用就是构建一个周期为 $T$ 的波形，只是随着 $n$ 的增大，波的频率越来越高。例如 $\sin(x),\sin(2x)$ 都是周期 $2\pi$ 的函数，只是 $\sin(2x)$ 的最小周期不在是 $2\pi$ ，所以其频率就变大了。

image.png

这里强调下，傅里叶级数是针对周期函数的，对于非周期的函数就是傅里叶变换了。

很多博主在解读傅里叶级数的时候，上来就说时域，频阈，复频域，欧拉公式。其实那些都是在不同场景下的不同的表现形式，本质都是一样的。先理解了上面的公式，以此为基础进行展开，会更加容易理解。

2，如何求解

还记得我们的目标吗？找出一个函数 $g(x)$ 去近似原函数 $f(x)$ ， $g(x)$ 样子已经有了：
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$

我们只需要求出 $a_0,a_n,b_n$ 就可以得到 $g(x)$ 。

所以这里有个前提，我们在看下需要求解的波形：

image.png

对于原函数 $f(x)$ 是什么样的我们并不知道，但我们知道 $f(x)$ 在每个x处的取值，毕竟这个波是我们自己采样得到的。

$C_1= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$
$C_2= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$
$C_3= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$
$......$
$C_n= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{2\pi nx}{T}) +b_nsin(\frac{2\pi nx}{T}) )$

所以求解 $g(x)$ 最简单得方法就是，构建n个 $g(x)=C_n$ 方程等式，求解一个n元一次方程，如上面所示。这里 $C$ 是常数， $n$ 得数量由自己定义。

当然上面是小学生的解法，大家不要当真。
在给大家介绍傅里叶级数的解之前，我们先看下周期为 $2\pi$ 的傅里叶级数，令 $T=2\pi$ 带入：
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(nx) +b_nsin(nx) )$
其对应的解为：
$a_0=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)dx$
$a_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)cos(nx)dx$
$b_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)fin(nx)dx$

想要求出这几个解，我们要先了解下三角函数的正交性，而理解三角函数的正交最好就是从周期为 $2\pi$ 的函数开始。

什么是正交？在线性代数中，正交就是两个向量垂直，如下图(A)。

正交

$\begin{bmatrix}x_1 \\y_1 \\\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}x_2 \\y_2 \\\end{bmatrix}$ 正交，就表现为 $x_1*x_2+y_1*y_2=0$ ,也就是两个向量的内积等于0

而在函数上的正交就表现为积分的形式:
$\int_a^b f(x)*g(x)dx=0$
其中 $\int_a^b f(x)*g(x)dx$ 就是 $f(x),g(x)$ 的内积，当其为零的时候就说明两个函数在 $a,b$ 区间内正交。

回到傅里叶级数，下面就是傅里叶级数中所有的三角函数集合。
{ ${0,1,\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x).....\sin(nx),\cos(nx) }$ }

任意两个三角函数一定条件下在 $-\pi$ 和 $\pi$ 之间是正交的,详细如下：
$\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\cos(mx)dx=0$
$\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\sin(mx)dx=0 \quad\quad n\neq m$
$\int_{-\pi} ^\pi\cos(nx)\cos(mx)dx=0 \quad\quad n\neq m$
$\int_{-\pi} ^\pi\sin(nx)\sin(mx)dx=\pi \quad\quad n=m$
$\int_{-\pi} ^\pi\cos(nx)\cos(mx)dx=\pi \quad\quad n=m$

关于其证明网上有很多，这里就不细说了。

下面看如何利用上面的性质来接 $a_0,a_n,b_n$

将函数两边同时积分

$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)dx$

将 $\frac{a_0}{2},a_n,b_n$ 移到前面。
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}dx+a_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)dx+b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)dx$
其中 $\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)dx,\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)dx$ 可以看成 $\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty 1*\cos(nx)dx,\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty 1*\sin(nx)dx$ ,根据前面的正交性，得到这两项都等于0，于是上面的函数就等于
$\int_{-\pi}^{\pi}dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}dx=\frac{a_0}{2}2\pi$

于是:
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$

下面求解下 $a_n$

将两边乘上 $\cos(mx)$ ，然后两边同时积分

$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(mx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)\cos(mx)dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)\cos(mx)dx$

将 $\frac{a_0}{2},a_n,b_n$ 移到前面。
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx+a_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)\cos(mx)dx+b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)\cos(mx)dx$

同样根据正交性 $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx \quad, \quad \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)\cos(mx)dx$ 等于0. 而 $\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos(nx)\cos(mx)dx$ 只有 $n=m$ 的项不为0，其他的也会为0，所以：