线代--矩阵与空间

2022-07-10  本文已影响0人  倪桦

标准空间:欧拉空间是对现实空间的规则抽象和推广(从n<=3推广到有限n维空间)。
一个标准二维空间由互相垂直的两个标准单位向量\vec e_1=(1,0) 和 \ \vec e_2=(0,1)所定义,在\vec e_1向量方向上的移动单位为\vec e_1向量的模\|\vec e_1\|,在\vec e_2向量方向上的移动单位为\vec e_2向量的模\|\vec e_2\|。用矩阵表示这个二维空间:

从列视角看待下式矩阵与向量的乘法:
\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix}y = \begin{bmatrix} x \\0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\y \end{bmatrix} = x \cdot \vec e_1 + y \cdot \vec e_2
\vec e_1=(1,0)和 \ \vec e_2=(0,1)所定义的空间中,(x,y)这个坐标释意为描述一个在\vec e_1向量方向上的移动单位为x \cdot \|\vec e_1\|,和在\vec e_2向量方向上移动y\|\vec e_2\|单位后的点。构成空间的两个向量的模都是1,所以在两向量中分别移动x,y单位后的结果向量在该空间中为描述(x,y)

在欧拉空间中,任意n个线性无关向量组都可以建立一个空间,如两线性无关向量\vec u \ , \ \vec v建立了一个空间:\begin{bmatrix} 4&2 \\ 1&3 \end{bmatrix}\color{red}{ \small 其中}\color{red}{\vec u \ , \ \vec v} \color{red}{\small 两向量的分量值是基于标准欧式空间给出的描述}。我们可以知道,一个标准二维空间的点(2,3),坐标(2,3)是在这个标准二维空间中\vec e_1方向上移动2个单位,\vec e_2方向上移动3个单位的点对象的位置描述,这个点在\vec u \ , \ \vec v建立的空间体系中的描述坐标应该是:
\begin{bmatrix} 4&2 \\ 1&3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 3\end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix} 4\\1\end{bmatrix} + 3 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 11 \end{bmatrix} = 2 \cdot \vec u + 2 \cdot \vec v

在标准二维空间的基础上,建立一个非标准二维空间\vec u \ , \ \vec v,并在非标准二维空间内刻画一个描述在标准二维空间内点(2,3)

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