零公式讲解统计学——贝叶斯理论（Bayes’ Theorem）

今天来聊聊统计学中非常非常重要的理论——贝叶斯理论（Bayes’ Theorem）。

贝叶斯理论，用很简单的一句话来解释，就是用来“翻转条件概率”的。

假设，在男性中，色盲的概率为5%，而在女性中，色盲的概率为0.5%。而人群中的男女比例为1：1。那么请问，如果一位患者是色盲，那么他是男性的概率有多少？

在已知的信息中，我们知道在男性中色盲的概率5%，这是条件概率。我们需要计算的是在色盲中为男性的概率，这也是条件概率，但是条件翻转了，条件从“男性”变为了“色盲”。

那翻转后的条件概率该如何计算呢？我们先看看如果有5000名男性，5000名女性，结果会是怎样。

在5000名男性中，5%为色盲，色盲人数为250。

在5000名女性中，0.5%为色盲，色盲人数为25。

总色盲人数为275。在人群中，色盲的概率为275/10000=2.75%。

那么，色盲中男性的比例为250/275=90.9%。

换一种计算方法，我们也可以得到相同的结果。人群中男性的概率为50%，而男性中色盲的概率为5%，那么在人群中男性色盲占比为50%*5%=2.5%。而人群中不分男女色盲的概率为2.75%，那么在色盲中，男性的概率为2.5%/2.75%=90.9%。

是不是并不复杂呢？让我们将过程简化一下，来看看如何计算“翻转概率”。

第一步，我们需要计算的是条件概率中，“条件”发生的概率。在上述例子中，条件为“色盲”。而在不知道人群具体数量的情况下，计算人群中色盲的概率，则需要用到我们上一篇讲到的全概率公式。具体计算方法为，人群中男性色盲的占比50%×5%=2.5%，加上人群中女性色盲的占比50%×0.5%=0.25%，将他们加起来即是人群中色盲的比例2.75%。

第二步，我们需要计算，所发生事件在整体人群中的占比。在上述例子中，就是男性色盲在整体人群中的占比，等于男性中色盲的比例，乘以男性的比例。

第三步，用第二步得到的结果，除以第一步得到的结果，就是我们的“翻转概率”了。而整个计算翻转概率的方法，就是著名的贝叶斯理论。

贝叶斯理论之所以有名，是因为他可以用一些我们已知的条件概率，去计算一些未知的条件概率，尤其是在扑克牌游戏，比如德州扑克中，贝叶斯理论可以很方便地根据已经开牌的情况，计算各种牌型、以及他们的获胜概率，以后有机会再做更详细的介绍。

在历史的发展过程中，贝叶斯理论的重要性越来越被大家所认知，甚至发展出了一个新的流派——贝叶斯流派。

拿上述的例子来说，假设男性中色盲的概率5%和女性中色盲的概率0.5%是恒定的，但是社会中男女比例是在变化的。如果男女比例从1：1变为了1.1：1，那么最后的条件概率也会发生变化，但是我们依然可以很轻松地计算出色盲中男性的比例。有兴趣的朋友不妨自行计算一下。

所以在某些信息有变化时，利用贝叶斯理论，可以很好地更新我们的系统，得到最新最准确的信息。