奥数到底训练的是套路还是思维？

即便是全民奥数，在家长中还是非常鲜明地分成两派：一派认为奥数就是为了参加杯赛而去学习的一系列解题套路，大部分的这些解题套路都是超越了孩子年龄的超前知识；另一派则认为，杯赛参加不参加另说，奥数至少对思维的训练有很大的帮助。

这两派的观点并不是对立的。相信绝大多数家长心里也非常清楚，杯赛得奖只是一个附属品，如果能够通过学习奥数达到训练思维的目的，对于孩子的一生其实都是有好处的。不过，这里面最大的问题就是，训练思维这件事情是一个无法用数字进行量化的事情。或许学了5年，甚至10年的数学，最终学到的可能只是一堆套路，而不是思维。

就拿上周陆老师发的一篇有关《牛爸教奥数》的教学修订的文章中的一题来举例说明。

在书中，牛爸给了整数裂项的基本「套路」。陆老师把它称之为套路的原因是：一般人（天赋秉异的除外）是想不到整数裂项的构造方法的。所以从解题的角度来说，「套路」产生的目的，就是为了让孩子牢记这种方法，然后能够解题。

陆老师的考虑是：把「套路」讲给小孩子听，启发小孩子进行记忆，是一件很费劲的事情。因为细心的家长会发现，实际上上面的这种套路，从一开始就缺乏合理的推导性。一个没有推导性的东西，强行记忆是十分困难的。即便记住了，这可能也真的只是一个「套路」，无法起到思维训练的目的。

所以，陆老师通过观察，发现整数裂项实际上和我们的组合运算在形式上非常接近，而组合运算是有很多很好用的性质的，进而我们就可以使用组合运算来解题（这里的前提条件是孩子有一定的奥数基础，在低年级曾经学习过组合运算）。

使用组合运算来解整数裂项的题，实际上属于降维攻击的一种。那为什么陆老师比较推崇始终组合运算来解题呢？这东西看上去和牛爸的方法区别不大啊，不都是套路重重吗？其实仔细去考虑，还是有差别的。因为从形式上看，题面的乘法形式是非常容易让人联想到组合运算的（连续相邻数的乘法），而一旦转化成为了组合运算，又是可以进行推导的。可推导的东西总是比不可推导的东西来的更加容易记忆，也更加能够锻炼思维！

所以，基本结论是：套路有时候是必须的，但套路要让人接受，需要有很明确的推导过程，这种推导过程本身才是训练思维的关键。

到了这里，陆老师本来想要表达的已经基本表达完了，不过上次的文章一发，陆老师的一位好友（网名Trustno1，陆老师一直称他为T神），给出了另外一种更加牛逼的方法。

以上是T神的手稿，或许对于很多人来说理解起来有点困难。陆老师把它翻译一下：

能看明白了吗？T神的解题思路，相当于用了一个三角阵的旋转并求和的方法，一下子就可以把整个通项公式推导出来了。相信这样的解法，如果说给孩子听，基本上90%以上的孩子都能够听明白，并且更加直观的可以进行推导。

为什么陆老师要引入T神的这种解法呢？因为T神的这种解法，从推导过程来讲是非常完美的一种数形结合的思想，而在整个数学构造（数学建模）上也极为便利。所以掌握并领悟这种解法，是真正能够起到训练思维的目的的。

我们再回顾一下陆老师的观点：学习奥数，套路很重要，但更重要的是背后的推导过程和数学构造，这才是思维训练的终极目标。

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