第三节变换

2021-08-20 本文已影响0人 Charon_ted

这里先来简单看一个场景，左边的人在向向外看，右边的是他看到的图像。这里有个明显的区别就是从一个3d的世界变成了2d的图片，这一切就是通过变换完成的。

3d场景变成2d图片

1缩放变换

缩放变换

这里我们先对这个图像进行缩放变换，横轴和纵轴都缩放0.5倍，我们可以先用图上下方的方式来表达这个变换。而结合我们之前学过的矩阵，我们可以把它写作这样一个形式.

矩阵形式的表达

上面的缩放是一个均匀的缩放。而如果我们进行一个非均匀的缩放，就会有这样的结果

只对x轴进行缩放

这时，我们只要将Sx为1 Sy为0.5 即可表达。

2.反射变换

我们先看一个简单的沿着y轴变换

反射变换

3.切变

切变

这里我们来稍微仔细推到下，之后省略此步骤，大同小异。首先这个变换是只针对于x轴的变换，也就是说对于任何点来说他只发生了x轴方向的变换y轴值没发生变动。而具体x轴变动了多少需要看这个点的y值是多少。当y值为1时x轴变动了+a也就是说从原来的点 (0,1) 变动到了 (0 + a(1 * a)， 0) 也就是说y轴上的每个单位会给x轴带来a的的值变化。同理可推导出来，当x值为0.5时，带来的时 a/2 的值变换也就是说 x的值会变换 y*a 。
经过上面的我们可以稍微梳理下矩阵的大体含义。

上图切边的矩阵运算
这里我们只看变换矩阵的第一行(红色的)和原来的坐标矩阵。
变换后的值 X' = x * 1 + y * a 也就是说对于这个变换的每个x ，他并不会进行一个倍率的缩放变换(例如*2 放大一倍或者 0.5 缩小一倍)而是根据y的值进行一个线性的增加
如果在这里我们吧1 变换成2 那么结果就会变成是一个先对x轴进行一倍的拉伸(拉宽) 然后再统一根据y的值像右拽 ya 个值.。

4.旋转变换s

这我们有个约定俗称
1：在没规定的情况下默认认为沿着原点旋转
2：在没说方向的情况下默认为逆时针

旋转变换

这里矩阵的推导其实和上面类似，我们找到一个点来看他的
x' 变为了 a * x + b * y
y' 变味了 c * x + d * z
那么找出的
$\begin{matrix} a & c \\ b & d \\ \end{matrix}$
就是我们要的旋转矩阵了。
带入到上面的图中，我们以原图中的 (1,0) 点来看
x轴的值变味了 1 * cosθ y轴的值变成了 1 * sinθ 这两个值就是我们的 a b
而c d 同理，我们吧 (0,1)点带入，即可找到对应的 c d 的值这就是整体的推导过程。

这里我们可以发现，上面的4种变换都可以写作如下的方式

线性变换

我们吧所有可以这样推导的矩阵变换叫做线性变换。而什么是非线性变换呢？我们来看下面的

5.平移变换 & 齐次坐标

这里我们发现我们都是用的相同维度的矩阵乘以对应的变量。那我们能否使用不同维度的相乘呢？
接下来我们就需要引入齐次坐标。
首先我们要明白为什么我们要引入齐次坐标这个概念。我们来看下面的一个变换

平移变换

这里我们可以简单的写出对应的方程：

方程
但这里我们可以发现，我们已经无法用刚才的 ax+by来表示上面的式子了。因为ax+by只能表示变换和xy都是线性相关的变换，而这里我们是一个固定值 tx，之前的方法无法加上一个固定值。
我们只能把它写作如下形式：

先对坐标进行一个线性变换，然后再在此基础上加上偏移量。

然而这个式子直觉上看着就略微。。。不够优雅，并且我们不希望用这么复杂的式子来表示平移这种很简单的变换。所以我们需要会找到一个方法让他在不同维度下也可以相乘。
于是我们就找到了下面这种解决办法：
对于任何2维的点我们由原来的 (x,y) ==> (x,y,1)
对于任何2维的向量我们由原来的 (x,y) ==> (x,y,0)

这里的0和1取决于你是为了表示这个点还是说代表的是一个向量。
这样对于之前的平移，我们便可以由如下操作来决绝之前的问题

平移矩阵

多出了这个1，我们便可以让他来进行一个常量的变换(平移变换)。而对于其他线性变换，我们可以吧 tx ty变为0 便不会影响线性变换的结果

这里我们思考下为何向量的结尾是0。
我们知道对于一个向量来说，他只有两个关键信息：方向和长度。他无所谓起始点和终止点，只要方向和长度相同，我们便认为两个向量相同。而平移变换他只改变了起始点和终止点的位置，并未改变向量的方向和大小。所以对于向量而言，如果结尾是1 那经过平移计算后的向量便和原向量不相等了。

而在另一方面，对于平面内的一些计算我们有下面类型

引入其次坐标后的向量与点的计算

例如点 - 点 = 向量，而这样剪完之后心引入的其次坐标为也会有 1-1 变成0，正好是向量的齐次坐标补充结尾
其他三种我们都可以很简单的理解而对于点 + 点我们如何理解呢？
这里对于这种运算有一个扩充：

点+点的扩充

如图，当w为0时，他代表一个向量。而当他不为0时， (x,y,w)他真正代表的点为（x/w, y/w, 1），也就是说这两种表达时等价的
例如我们举个例子 (1,1,1) + (3,3,1) 的运算结果为 (4,4,2) <==> （2,2,1）正好是前两者的中点。也就在引入齐次坐标后，两个点相加的结果时他们的中点。

而对于下面方式可以表示的变换，我们称为放射变换( = 线性变换 + 平移)。
我们可以发现对于二位的仿射变换在引入齐次坐标后，他的最后一行永远是 (0,0,1)(这里只针对二维仿射变换)
tx,ty代表平移的值。