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一个想明白会受益无穷的概率问题

2019-01-06  本文已影响350人  沐南秋

这个问题出现在《穷查理宝典》中查理芒格演讲辑录的第二讲:论基本的、普世的智慧,及其与投资管理和商业的关系。

起因是这样的,17世纪中期一位法国贵族跟人打赌,他每掷四把色子,至少会出现一次6,根据经验,他知道赢的次数比输的次数多。后来他改变了赌博规则,用两个色子连掷24次,至少有一次得到的结果是12,这种新的赌博没有原来那种赚钱。

请问为什么?

1

看到这个问题,你下意识地会怎么想?或许你会和我最初想法一样,这是一个概率问题,本质在于求两种掷色子出现预期结果的概率。

第一种打赌方式,每一次掷色子掷出6的概率是1/6,那么掷四次的概率就翻了4倍,也就是4/6。

第二种方式,每一次掷到12的概率是1/36,那么掷24次的概率就是一次的24倍,也就是24/36。

4/6=24/36=2/3。

也就是说,两种打赌的方式赢的概率是相等的,那么法国贵族为什么会感觉到第二种方式没有第一种赚钱呢?

2

实际上,正确的算法是这样的。

对于第一种打赌方式,算可以掷出6的概率不如掷不出6的概率简单,因为掷出6的情况包括掷出1个6、2个6、3个6和4个6四种情况,要把四种概率加起来才是最终的结果。

而算掷不出6的结果则容易得多,每次掷不出6的概率是5/6,四次都掷不出6的概率就是5/65/65/6*5/6=625/1296。

掷出6的概率就是1-625/1296=671/1296=51.774%。

也就是说,这种方式能够掷出6的概率是大于50%的,如果大量进行这样的打赌,最终肯定是赚钱的。

顺便给出另外一种算法,直接求可以掷出6的概率。

掷出1个6的概率是:1/65/65/65/64=500/1296
2个6的概率:61/61/65/65/6=150/1296
3个6的概率:41/61/61/65/6=20/1296
4个6的概率:1/61/61/6*1/6=1/1296
可以掷出6的总概率为四种情况相加:(500+150+20+1)/1296=671/1296

与上面的结果是一致的。

对于第二种打赌方式,最简单的也是采用掷不出的方式求,顺便说一句,《穷查理宝典》中一直强调一句话“逆向思考,一直要逆向思考。

掷不出的概率为35/36的二十四次方,约为0.5085。

掷出的概率为1-0.5085=49.14%。

可以看出,第二种方式的概率是低于第一种的,且在50%以下,也就是说,按照这种方式长期赌下去必然是输钱的。

3

正确的答案已经知道了,但是还是有一个问题困扰着我,我最初的那种直觉式的计算方式错在哪里呢?或者说,我为什么会犯这样的错误呢?

在这个问题困扰了我四天后,我终于想明白了。

看两个简单的问题。

我一天可以领到1个苹果,4天可以领到几个?很容易计算,1*4=4个。

我一天可以领到1/6个苹果,4天可以领到多少苹果?也很简单,4*1/6=2/3。

看到这里,你是不是明白了,之所以会犯最初的那种直觉式的错误,是因为我们把概率问题和普通的代数问题搞混了,他们在形式上是如此的相似。

这种普通的加减乘除式的代数问题人类已经计算了几千年,最初的结绳记事本质上就是一种加法运算。

而概率这门学科则是在三四百年前才开始被人们所重视。而且代数问题很直观,一个苹果和一个苹果放到一起就是两个苹果,看得见、摸得着,但是概率问题则抽象得多,一件事情发生的概率是1/6,是什么鬼,你把色子切成六瓣我看看。

所以看到这样的概率问题,会很容易误当成是我们熟悉的代数问题。

这就是查理芒格说的“铁锤人”倾向,“在拿着铁锤的人看来,每个问题都像钉子。”因为没有对于概率问题的深入理解,所以把它当做了代数问题。

4

那么新的问题又出来了,在问题的开始,我就意识到了这是一个概率问题,为什么到了实际运算的时候还会当做一个代数问题来算呢?

是因为我没有深入理解代数问题和概率问题的本质区别,没有理解加法和乘法在概率运算与在代数运算中的不同含义。

在代数运算中,乘法表示的是另一种形式的加法,当数量增加的幅度相同,则可以根据增加的次数使用乘法运算代替大量的加法运算,使运算简便。

也就是说,代数运算中乘法是加法的变体。

在概率运算中,乘法表示两种互相独立的事件同时发生的概率。a发生的概率是m,b发生的概率是n,则ab同时发生的概率是mn,就像上面的问题中,两个色子掷出12点,这是要求第一个色子掷出6点和第二个色子掷出6点这两件事同时发生,所以概率是1/61/6=1/36。

在概率运算中,加法表示的是同一系统中两个事件其中有一件发生的概率,就像掷一个色子,掷出5或者6的概率是1/6+1/6=2/6。

最初,本以为已经“知”道这是概率问题的计算,却还是在“行”中出错,“知行合一”之难可见一斑。

5

想起去年罗胖的跨年演讲中的一个问题。

有红绿两个按钮,按下红钮你可以直接获得100万,按下绿钮你有50%的概率获得1亿,你会选哪个?

根据直觉做出选择让的人很可能会按红钮,这中间损失厌恶对我们的影响很大,可以确定获得100w,这一百万会被你当成自己的东西,而假如因为按绿钮而失去这100w会带来的痛苦很难承受的。

根据概率计算的人很可能会按绿钮,因为这样的收益是50%*1亿=5000w,远高于第一种选择。

但是这里也有一个坑,按下绿钮的选择看似是个概率问题,但是对于单独一次的选择,这种概率没有太大意义,得到了就是得到了,没得到就是没得到。

怎样让这种概率变得有意义呢?增大运算的次数。在这个问题中,假如其他很多人也拥有这样的选择,你可以和你最好的朋友约定,共同选择按绿钮,最后两人平分获得的收益,这样就可以增大获利的预期。

如果将这个人数再放大,有一百个人甚至更多的人打成这样的协议,可以想象每个人获得的收益会无限接近于5000万。

这是一种多赢的局面。

6

那么,上面的这个问题对于投资又怎样的帮助呢?

《思考快与慢》中提出过一个心理账户的概念,就是为一类特定的投资设定一个账户,这样就能不在乎一城一池的得失,而从长远的角度获取最大的收益。

在投资中,或许你会面临这样的选择,51%的概率获胜,赌赢后资本翻倍,赌输后账户归零。你赌不赌?

理智的人不会进行这样的赌博,因为只要一次失败就会让你没有翻身的机会。

但是假如你有机会进行长期多次这样的赌博呢?答案是赌。

这个时候,你就可以为你这一类的投资设立一个心理账户,51%账户,你知道一两次的输光没关系,你追求的长期的收益。

7

最后回到《穷查理宝典》这本书。

这本书最迷人的地方是查理芒格根据他的经验提出了一种普世的智慧,也就是在任何情况下都适用的思想,可以解决你遇到的任何问题,而他把这种智慧叫做多元思维模型。

多元思维模型,就是运用多个学科基础的思想模型来分析问题,从而得出正确的答案。

而上面所说的概率模型,只是查理的一百多种模型中的一种,是不是很强大?

感兴趣的小伙伴们,不妨自己读一读这本书,体会一下世界一流投资大师的智慧。

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