游戏数学

2019-06-26 本文已影响0人 fat___lin

坐标系

右手坐标系：3d max
左手坐标系：Unity、Unreal

Unity3D 当中基本的坐标体系
unity 在
模型空间 和 世界空间 中选用的都是左手坐标系
观察空间（摄像机空间）中使用的是右手坐标系。
如果需要调用类似 Camera.cameraToWorldMatrix、Camera.worldToCameraMatrix 等接口自行计算某模型在观察空间中的位置，需要小心这种坐标系的差异。

参考链接：理解Unity3D中的四种坐标体系

向量

向量点乘
$a \cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$
向量叉乘
$\begin{bmatrix} x_{1} \\\ y_{1} \\\ z_{1} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x_{2} \\\ y_{2} \\\ z_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{1}z_{2} -z_{1}y_{2} \\\ z_{1}x_{2} - x_{1}z_{2} \\\ x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2} \end{bmatrix}$
夹角计算
$\theta = \arccos \left( \frac{a\cdot b}{ \mid a \mid \mid b \mid } \right) = \arcsin \left( \frac{a \times b}{ \mid a \mid \mid b \mid } \right)$

矢量运算	几何意义	推导公式	几何意义
点积(内积)	投影	$\mid a\mid\cdot\mid b\mid cos\theta$	a在b上面的投影乘以b的长度
叉积(外积)	法线向量	$\mid a\times b \mid = \mid a\mid \mid b\mid sin\theta$	a、b平行四边形面积
矢量归一化	单位矢量	$\frac {a} {\mid a\mid}$	获取单位矢量

矩阵

矩阵乘法 $c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$
对角矩阵
单位矩阵 $I$
转置矩阵 $A^t$
矩阵行列式
逆矩阵 $AB = BA = I$
正交矩阵 $AA^t = I$

变换名称	是否线性变换	是否仿射变换	是否可逆矩阵	是否正交矩阵
平移矩阵	N	Y	Y	Y
绕坐标轴旋转的旋转矩阵	Y	Y	Y	Y
绕任意轴旋转的旋转矩阵	Y	Y	Y	Y
按坐标轴缩放的缩放矩阵	Y	Y	Y	N
错切矩阵	Y	Y	Y	N
镜像矩阵	Y	Y	Y	Y
正交投影矩阵	Y	Y	N	N
透视矩阵	N	N	N	N

基础变换：平移、旋转、缩放
$\begin{bmatrix}M_{3*3} & t_{3*1} \\\\0_{1*3} &1\end{bmatrix}$
$M_{3*3}$ 表示旋转、缩放
$t_{3*1}$ 表示平移
复合变换
一般约定顺序为，先缩放，再旋转，最后平移——矩阵运算相对简单
$P_{new}=M_{translation}M_{rotation}M_{scal\theta}M_{old}$

$M_{translation}M_{rotation}M_{scal\theta} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & t_x \\\\ 0 &1 &0 & t_y \\\\ 0 & 0 &1 & t_z \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ -sin\theta &0 & cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}k_x & 0 & 0 & 0\\\\ 0 &k_y &0 & 0 \\\\ 0 & 0 &k_z & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} k_x cos\theta & 0 & k_zsin\theta & t_x \\\\ 0 & k_y & 0 & t_y \\\\ -k_x sin\theta &0 & k_z cos\theta & -t_z \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

欧拉角&万向锁

四元数 Quaternions

用于表示旋转

四元数可视为复数的扩展。在复数中，定义了 $i^2 = -1$ ，而四元数中则定义了 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$

知乎如何形象地理解四元数

unity 官方文档
常用方法：

Quaternions方法名	备注
LookRotation	使用 forward 和 directions 创建一个旋转
Angle	返回a和b两个旋转之间的角度（以度为单位）
Euler	返回x、y、z轴的欧拉角旋转
Slerp	通过t在a和b之间进行球面插值。参数t限制在[0,1]
FromToRotation	创建一个从fromDirection转到toDirection的旋转
identity	单位旋转(只读)

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