第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度

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第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度

—— 以圆周运动为例

数学符号

$\vec{e}_n$ , $\vec{e}_{t}$ , $\frac{x}{y}$ , $\sqrt{x}$

对应的代码为
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

知识点

曲线运动的加速度 $\vec{a}$
- 自然坐标系， $\vec{e}_n$ ， $\vec{e}_{t}$
- 匀速圆周运动的加速度，向心加速度 $a_n=\frac{v^2}{R}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n$
- 直线运动的加速度，切向加速度 $a_t=\frac{dv}{dt}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_t=\frac{dv}{dt} \vec{e}_t$
- 变速圆周运动的加速度
  - $\vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt} \vec{e}_t$
- 一般曲线运动的加速度
  - $\vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt} \vec{e}_t$
  - 曲率半径的直观感受
  - 计算曲率半径

例题

例1.

曲线运动中，加速度经常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 进行分解：

$\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$

借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。
- 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
  (1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 变速圆周运动的质点，
  (5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
  (6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ (不就是高中学过的向心加速度嘛)
  
  上述判断正确的为

解答：(2)(3)(6)

例2.

一个质点在做圆周运动时,则
- 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
- 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答：切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变

例3.

物体作斜抛运动，初速度大小为 $v_{0}$ ，且速度方向与水平前方夹角为 $\theta$ ，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答： $a_n=\frac{(v_0cos \theta)^2}{\rho}=g$ ，即 $\rho=\frac{(v_0cos \theta)^2}{g}$ 。

例4.

质点在 $Oxy$ 平面内运动，其运动方程为 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．则在 $t=1$ 时切向和法向加速度分别为( )

解答： $\vec{v}=\frac{d\vec r}{dt}=\vec{i}+t\vec{j}$ ， $v=\sqrt{1+t^2}$ 。
$a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{\sqrt 2}{2}$ 。
$\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\vec j$ ， $a=1$ 。
$a=\sqrt{a_n^2+a_t^2}$ ， $a_n=\sqrt{1-\frac{t^2}{1+t^2}}=\sqrt\frac{1}{1+t^2}=\frac{\sqrt 2}{2}$ 。

作业

质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．则在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 时间内的平均速度为

解答： $\Delta \vec r=12\vec i-24\vec j ，\Delta r=12\sqrt 3，v_平=\frac{12\sqrt 3}{5-1}=3\sqrt 3$ 。

设质点的运动学方程为 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

解答： $\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=-R\omega \sin\omega t\ \vec{i}+R\omega\cos\omega t\ \vec{j}$ ，
$v=R\omega$ 。

运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}$
则 $t$ 时刻的速度与速率

解答： $\vec r=(-10t+30t^{2}) \vec{i}+(15t-20t^{2} )\vec{j} ,$
$\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=(-10+60t)\vec{i}+(15-40t)\vec{j} ,$
$v=\sqrt{(-10+60t)^2+(15-40t)^2}=5\sqrt{208t^2-96t+13}$ 。

第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度

第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度

—— 以圆周运动为例

数学符号

知识点

例题

例1.

例2.

例3.

例4.

作业

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