12.2.3 真实p(x)的离散化和截取采样：分辨率

从之前的文章，我们知道重建图像的空间范围或者叫做空间周期被定义为L（field of view）。对无穷采样得到的图像进行截断的理由就是我们截断得到的图像已经包含了无穷采样的重建图像的所有有效信息，其他的都是该有效信息的复制，没有带来新的信息。

这里我们打算对重建的真实的p(x) 在位置空间上也进行有限采样，得到离散化的真实p(x)的估计，这里给出采样函数：

这样，我们可以计算得到经过采样的重建图像pm(x) 。这里假设我们的采样点数是2n'，而不是2n。当然了 最后会证明n=n'。

这里的 标定了位置空间的体素或者像素的大小，因此它被称之为空间分辨率。

可以看到 当n'很大， 很小的时候， 上面的式子就是的连续傅里叶变换。 也接近的连续逆傅里叶变换。

12.2.4 离散傅里叶变换

如果要使得和 构成一个离散傅里叶变换对，那么在k-space和位置空间的数据点数目要一样。

把上面计算得到的 带入到下面的 式子里面并且把k替换成

这样可以得到这样的一个式子：

如果n'=n的话，根据, , 我们可以得到

那么上面的式子就可以化为：

存在这样的恒等式（identity）

最后可以推倒出：

这说明，我们对重建的'p(x)进行采样，然后进行傅里叶反变换得到的 和`p(x)未经采样得到的是点对点对应相等的。

那么最后我们可以得到这样一对离散傅里叶变换对（经过采样的信号 s(k)与经过采样的重建图像/spin density p(x)）

然后，我们再定义：

 就是我们日常呈现在MRI 图像中的像素/体素值大小，它正比于physical spin density 和像素/体素的大小

最后可以得到：

当然了，为了后面说明的方便，我们依旧采用  来讨论MRI 图像，紧密和MRI 的物理机制联系。