引力与惯性的数学模型思路，以及如何正确理解转动惯性与物体的质量分

导读：本文摘自《从惯性到反引力的思考》全文1万6千字，会收录在科普书籍《变化》一书中。

引力与惯性的数学模型思路

假设我们可以通过数学模型来描述引力与惯性的关系。设 Fg 表示物体受到的引力，I表示物体的惯性，m 表示物体的质量。引力Fg使得物体具有惯性I，可以表示为：I = k Fg

其中k是一个比例常数。在地球表面，引力 Fg = G Mm/r2，其中 G是引力常数，M是地球的质量，r 是地球半径。因此，物体的惯性可以表示为:I = k G Mm/r2。

但是这里要强调，一定要有引力场的思维，而我这里用牛顿引力的方程来给出的思路，就看不出场的概念，还是要回到爱因斯坦那样的场方程去给出一个答案，但我目前没有能力解爱因斯坦场方程，也无法重构它来给出大家一个方程。希望有能力大神看到了，能从这个角度试着开拓一下基础物理的理论。

其实还有一个实验验证方法，那就是根据狭义相对论的质增效应，来验证引力使得物体具有惯性。

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质增效应的数学描述，根据狭义相对论，一个物体的相对论性质量m可以通过以下公式计算：

其中：m=m0/√(1 - v^2/c^2)

m是物体的静止质量（即物体在静止状态下的质量）。

v是物体的速度。c是光速（约为 3.00×108 m/s3.00×108m/s）。

从这个公式可以看出，当物体的速度v接近光速c 时，分母接近于零，因此相对论性质量m会变得非常大。这个时候惯性也会变得无限大。所以这个时候要改变物体运动状态是很难的，比如要继续给它加速，几乎是不可能了。

我知道很多人，对于“引力使得物体具有惯性”这样的推论不屑一顾，认为是天方夜谭，认为是我为了博人眼球或者是割韭菜而想出来一个点子。10年里，我对于这样的评论，也从来不去回应。任何一个认真读完科普四部曲的人，他都不会认为我是在割韭菜，因为我是在认真思考。科普四部曲，断断续续我写了十年，不是说这抄一点，那抄一点写出来的，是我有自己的思维和思考在里面。我要写就要写出最牛的科普作品，它一定不是快餐，是要有深度思考的。

现在呢，我认真问你，你能想出几个案例来反驳我这个观点，相信我，大部分人一条也想不出来，因为我问过几个人。既然大家想不出来反驳的点，为什么不考虑接受这个观点呢，惯性就是引力场作用下产生的物理现象呢？就好像我们一直在寻找以太，但是所有的实验都证明没有，那么为什么不承认它确实没有呢。爱因斯坦就是这么思考的，所以他果断地放弃了以太的概念，这才创了了相对论。

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其实真要反驳“引力使得物体具有惯性”这个推论，有没有可能，是有的。我自己呢，思考了两条，大家也去想想。

引力使得物体具有惯性，它背后的本质是什么？最大支持点就是引力质量和惯性质量相等，也就是说，我这个推论其实就是建立在广义相对论之上的，懂了吗？因为广义相对论成立的，最重要的一个点就是等效原理。

广义相对论成立的条件，一个是等效原理，一个是广义相对性原理。很多人在试着推翻广义相对论，但他们往往没有击中要害。你要推翻一个理论，你是不是先得推翻它成立的基础，那么两个成立的条件，你能从哪个入手？广义相对性原理，你怎么推翻？没有任何思路的。但等效原理，是有思路的。等效原理是广义相对论的一个薄弱点。

如果你认真去读广义相对论成立的条件，它会在表述内容中加一个“局部空间”内引力效应和加速度效应不可分辨。为什么要加这个局部空间呢，那肯定是有原因的，可以这么说，不加这个限制性表述，广义相对论不能成立。所以等效原理又分为弱等效原理和强等效原理。

弱等效原理：在一个局部的小区域内，引力场的效果与加速度的效果是不可区分的。

强等效原理：不仅力学现象，所有物理现象在局部的小区域内都无法区分引力场和加速参照系。

等效原理之所以强调“局部”区域，是因为在较大的区域内，引力场的效果和加速度的效果可能会出现差异。

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比如说潮汐力：在较大的区域内，引力场通常是不均匀的，这会导致潮汐力的存在。潮汐力是指由于引力场在不同位置的不同强度而产生的力。例如，地球上的潮汐是由月球引力在地球不同位置的不同强度引起的。

在一个加速的参照系中，如果没有外部引力场，就不会有潮汐力。因此，在较大区域内，潮汐力的存在使得引力场和加速参照系变得可区分。

再比如说曲率效应：时空的曲率在较大的区域内会变得显著。在广义相对论中，物质和能量弯曲时空，这种曲率在大范围内可以被观测到。例如，光线在经过太阳附近时会发生偏折，这是由于时空的弯曲造成的。

在加速参照系中，时空是平坦的，不会出现类似的曲率效应。因此，在较大区域内，时空的曲率会使引力场和加速参照系变得可区分。

我们就以爱因斯坦自己的电梯实验，再来说一点：在一个小的电梯内，如果电梯以 g 的加速度向上加速，电梯内的观察者会感受到类似于地球表面的重力。在这种情况下，电梯内的局部区域符合等效原理。

可是如果电梯足够大，很大很大，内部的观察者可以通过测量不同位置的重力差异（潮汐力）来区分自己是在地球上还是在一个加速的电梯中。在这样的尺度上，等效原理不再适用，因为引力场的效果和加速度的效果是明显不同的。

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也就是说在大的空间区域里，引力效应和加速效应就是可以分辨的！你要反驳广义相对论，你只能用这个点作为突破口。但其实人家讲得很清楚了，我是加了“局部”空间描述的，这样的表述就是严谨的，你就是推翻不了。

而且广义相对论的理论也经受住了实验的验证，这就是说，它有用的。我说它是“有用的”，但没有说它是“真理”。因为我们用广义相对论，一定是用的是广义空间，甚至是宇宙范围，我们不会限定为广义相对论的理论只适合局部空间，懂了吗？

而我的推论，是基于广义相对论的，所以说也算是有弱点。就是引力场也一定是广域的，如果仅仅是局域的，那么“引力使得物体具有惯性”一定是错误的。但我知道这个，依然这么说，是因为引力质量和惯性质量严格相等，和“引力效应和加速度效应”没有关系。你这个效应可分辨也好，不可分辨也好，引力质量和惯性质量是相等的，这个前提没有变。

你们再来说一个反驳的案例，是不是依然想不出来？确实是难，你们知道我是怎么想的，我做梦都梦到过，梦到过我跟爱因斯坦，玻尔他们聊天，我在《变化》中也写了这样的对话，就有点魔怔的感觉。

后来我还真又想了反驳自己理论的案例，就是转动惯量。我们初中课本里没有这个知识点，我也没有学过，我是深入研究和思考惯性的过程中，知道了转动惯性的概念的。知道这个概念之后，我一开始是失望的。因为什么呢？转动惯量（Moment of Inertia）是一个物理量，描述了物体在旋转运动中抵抗角加速度的能力。它取决于物体的质量分布和旋转轴的位置。这是转动惯量的定义，但你发现“致命”问题了没？转动惯量竟然和质量分布有关系。如果惯性和质量分布有关系，那么大概率“引力使得物体具有惯性”这个推论，不能成立了。因为我当时想的，惯性是广域的物理现象，它对于质量的分布如此敏感的话，这超出了我原来的设想。这就是我失望的点，我感觉方向错了，努力白费。

当时我记得已经是半夜了，脑子已经不灵光了，看了半天也解决不了问题。躺到床上也睡不着，我那时候有女朋友，她还总爱等我写完一起睡，她就说我是真的魔怔了，不能再写了。现在回想那段写科普作品的时光，还真是挺美。

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因为我那时候写文章，就喜欢晚上写，白天是玄学工作，回复各种问题。确实有点魔怔了，那时候你们知道心理状态是怎样的？说了你们可能不信，当时怕来业务，因为来业务就要花费时间啊。很多人可能没有那个体会，你写一晚上作品，早上你摸一把脸或者额头，就感觉油光光的。

第二天晚上我又仔细思考了惯量问题，发现我不应该“失望”，因为这个惯量问题，推翻不了“引力使得物体具有惯性。”怎么推翻不了？我现在给大家讲讲，很多人是理解不了的。

你要理解和解决这个问题，你首先要清楚，惯性力和转动惯量是不是一个概念，是不是一回事？来，读者朋友们，你先思考这个问题。答案是这样的，惯性力和转动惯量，都是和惯性有关，这一点毋庸置疑。但他们不是一个概念，也就不是一回事。举一个很生活话的例子，惯性就像一个母亲，惯性力是一个儿子，转动惯量是另一个儿子。就是他们有共同的联系——惯性，但是它们是不同的物理现象。

那这个现象的区别在于哪里？这个就是最关键的部分！转动惯量和线性运动中的惯性（质量）之间的区别主要在于它们描述的物理现象和所涉及的运动类型。下面详细解释为什么转动惯量与物体质量的分布有关，而线性运动中的惯性与质量分布无关。

转动惯量描述了物体在旋转运动中抵抗角加速度的能力。它取决于物体的质量分布和旋转轴的位置。

转动惯量公式：

对于连续体：I=r2 dm。其中 r 是质量元素 dm 到旋转轴的距离。

对于离散的质量点：I=miri2，其中 m i是第 i 个质量点的质量，r i是该质量点到旋转轴的距离。转动惯量类似于线性运动中的质量。质量决定了物体抵抗线性加速度的能力，而转动惯量决定了物体抵抗角加速度的能力。转动惯量越大，物体越难改变其旋转状态。

转动惯量不仅取决于物体的总质量，还取决于质量相对于旋转轴的分布。质量离旋转轴越远，转动惯量越大。

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例如，一个细长杆绕其一端旋转的转动惯量为 I=1/3ML 2，而绕其中心旋转的转动惯量为 I=1/12ML 2。这是因为质量分布相对于旋转轴的不同位置导致了不同的转动惯量。M代表细长杆的总质量。L代表细长杆的长度。

而惯性决定了物体抵抗线性加速度的能力。质量越大，物体的惯性越大，需要更大的力才能产生相同的加速度。

惯性与物体内部质量的分布无关，只与物体的总质量有关。在线性运动中，物体的惯性仅由其总质量决定，而不考虑质量的分布。无论质量如何分布，只要总质量相同，物体的惯性就相同。

例如，一个质量为 M 的均匀球体和一个质量为M 的不均匀球体，在受到相同的力时，它们的加速度是相同的，因为惯性只与总质量有关。

仔细看，到了最关键点了。

转动惯量：描述了物体在旋转运动中抵抗角加速度的能力，不仅取决于物体的总质量，还取决于质量相对于旋转轴的分布。质量离旋转轴越远，转动惯量越大。

线性运动中的惯性：描述了物体在直线运动中抵抗线性加速度的能力，只取决于物体的总质量，与质量的分布无关。

这种区别的根本原因在于，旋转运动涉及的是物体各部分相对于旋转轴的相对位置，而线性运动涉及的是物体整体的平移。因此，转动惯量需要考虑质量的分布，而线性运动中的惯性只需要考虑总质量。

我不知道，你读到这里明白了没有，这就是考验一个人有没有学或者理解物理或者其他知识的能力了。

我用我的大白话再给你翻译一下，一个是线性运动，一个转动运动。而线性运动中的物体，是一个整体，就是整体是一个点。而转动运动中的物体，是一个整体，但更准确地理解是一个系统！对，就是一个系统！这就是关键点。而我们只能计算它的每一个点，当它缩到一个点的时候，一个点就是一个整体。

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你要还不明白，你着重理解一下“对于离散的质量点：I=miri2，其中 m i是第 i 个质量点的质量，r i是该质量点到旋转轴的距离。”就是一个转动的物体，他其实是由无数个质量点组成的，他们把这个叫离散的质量点，你就这样理解。

而理解离散的质量点是理解转动惯量的关键。离散的质量点是指将一个物体视为由多个具有特定质量的点组成的系统，每个点的质量集中在该点上。这种简化方法在处理某些物理问题时非常有用，尤其是在计算转动惯量时。其实你要有一种“微分”的观念去理解这个离散质量点，它和线性运动中物体被理解为整体是一致的，没有区别。如此就不影响“引力使得物体具有惯性”了，这下你懂了吗？

再综合性，用大白话解释一下，转动的物体的情况是复杂的，你要把它理解为一个系统，要计算系统中的惯性，也就是惯量，就要计算系统中的一个点，简化为这个点之后，其实就和线性运动中物体的惯性计算，没有本质差别。和质量的分布也没有关系。你发现了没有，这种计算它都是抽象化的思维，跟我们把太阳看作一个点来计算，是一模一样的。

好了，至此我讲了两个可以反驳“引力使得物体具有惯性”的案例，但这两个案例，都被我自己又否定了。所以引力使得物体具有惯性，是一个值得大家去思考和完善的理论，这对于我们理解和重塑基础物理，至关重要。

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摘自独立学者灵遁者科普四部曲。

灵遁者，原名王银。中国独立学者，1988年出生于陕西榆林市绥德县，现居西安。艺术家，国学起名师，作家。2005年开始创作，至今已有10余年。其作品以朴素，深刻，具有洞见性和想象力，在各大网络广为流传，深受读者喜爱。灵遁者书籍阅读，命理咨询。灵遁者代表作品有灵遁者科普四部曲，国学三部曲，散文小说五部曲。