Week 22

Joao Caetano, Shota Komatsu, "Crosscap States in Integrable Field Theories and Spin Chains"

这两周还没有特别仔细地看一些新的文章，不过这篇还是很有意思的。是我喜欢的工作类型。
好多有意思的想法是来自于借鉴，问一些what if的问题，然后再去一点一点试错实践出来。

这篇文章就是把CFT里面的crosscap state的想法用到了IFT里。就好比conformal boundary 和 integrable boundary 的类比。之前Bazhanov, Lukyanov, Zamolodchikov也有用可积性的语言描述CFT的工作。两者还是有很多相似的地方的。所以很自然的可以把两边的概念互通起来，可能会出现有趣的结果。可能还需要再仔细看看BLZ的工作来打通穴道。

和CFT一样，我们很很喜欢把带边界的IFT放在一个cylinder上面，然后定义cylinder partition function。
在这个图像的基础上，我们可以再cylinder的两端加上crosscap state。几何来想就是把两边圆面，交错地identify 起来。这样我们得到了一个Klein bottle。当然如果是直接identify起来是得到一个torus。

我们可以定义partition function

这里可以简单地想，把crosscap 看做某种“边界条件”。等价的我们也可以从 closed (loop) channel来看这个配分函数。

这里 就是parity 算符，可以认为在时间方向上插入了一个反演算符。所以时间尺度从R变为了2R因为反演了一次。可能这个partition function 更像Witten index这种量。
取log之后，我们定义parity -weighted free energy。

得到这个partition function与带边界IFT的partition function几乎一样了。所以同样我们定义g-function 的类似物p-function还有crosscap entropy等。

有了这个定义之后，我们就可以算一些具体的物理量了。比如算crosscap state与Bethe state的overlap等来研究crosscap的一般性质。

下面可以再把这个场论里面的概念推广到一般的可积模型里，比如一个spin chain。但是同样的会遇到一些问题。比如如何系统地定义crosscap state？文章里给了一种构造，是一个比较直观的类比。不过还是很难想象一般的定义是什么样的。

比如我们知道带边界的spin chain 会相对复杂一些。但是目前的构造只不过是在一个没有边界的spin chain考虑一种特殊的态。并没有改变chain 本身。

结尾作者给了很多open question毕竟这个想法还是新的，很多东西可以去研究。