Electron phonon coupling from fi

2019-03-07 本文已影响0人多米尼克2049

今天看到Feliciano Giustino的综述文章，看到计算声子能谱的另一种形式化的方法，感觉很有意思，大概是plasmon那一套，所以看起来非常眼熟。目的主要是为了计算“screen perturbation" $\partial_{\kappa \alpha, \pmb{q}} v^{KS}$ 这种方法没有后来被用到实际计算当中，可能是因为DFPT太好用了吧。
它这里是引入一个响应函数 $\chi^0_{\pmb{q}}(\pmb{r},\pmb{r'})$ ，就是线性响应理论里边的套路，把电子对于原子位置的移动的屏蔽全部写入到这个响应函数里边。
$\partial_{\kappa \alpha,\pmb{q}}n(\pmb{r})=\int_{uc}dr' \chi^0_{\pmb{q}}(\pmb{r},\pmb{r'}) \partial_{\kappa \alpha, \pmb{q}} v^{KS}$
然后可以通过已有的波函数求响应函数
$\chi^0_{\pmb{q}}(\pmb{r},\pmb{r'}) = N^{-1}_p \sum_{mn \pmb{k}} \frac {f_{n\pmb{k}}-f_{m \pmb{k+q}}}{\varepsilon_{nk}-\varepsilon_{nk+q}} \times u^*_{n \pmb{k}}(\pmb{r}) u_{m\pmb{k+q}}(\pmb{r}) u^*_{m\pmb{k+q}}(\pmb{r'}) u_{nk}(\pmb{r'})$
再结合
$\partial v^{KS} = \partial v^{en} +(v^C+f^{xc})\chi^0\partial v^{KS}$
其中 $\partial v^{en}$ 指的是外部势不包含Hatree项和交换关联势，加在一起就得到了
$\epsilon ^{Hxc} = 1-(v^{C}+f^{xc}) \chi^0$
省略交换关联能那一项就是RPA近似。 $f^{xc}$ 是交换关联核
$f^{xc}(\pmb{r},\pmb{r'}) = \frac{\delta^2E^{xc}[n]}{\delta n(\pmb{r}) \delta n(\pmb{r'})} \|_{n(\pmb{r}):{\tau^0_{kp}}}$
交换关联核只与电子密度和初末位置相关。与初末时间 $t,t'$ 无关。
需要指出的是，我们到目前为止只考虑了静态微扰的屏蔽，实际上 $\partial v^{en}$ 是频率依赖的，不考虑这个频率以来就是对应的绝热近似，就是假定原子移动之后，电子有充分的时间驰豫到屏蔽这个扰动的密度分布。在1955年Bardeen的文章中其实就已经考虑到电声耦合问题中的retardation effects，但是真正的在第一性原理中包含这个效应是06年Lazzeri和他的老板弗兰西斯科·毛利。Nonadiabatic Kohn Anomaly in a Doped Graphene Monolayer Phys. Rev. Lett. 97, 266407(2006)

Electron phonon coupling from fi

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