对我们这个定义的补充和证明·2
注；这一篇开始的大半部分对于对象相应于多的猜想是错误的。这不时弗雷格的理解。这点在篇尾转回来。
§75
/“与自身不相等”这个概念，是一个没有东西处于其下的概念。
或者说，这个概念没有东西处于其下。
或者说，没有东西处于这个概念之下。
或者说，没有东西与自身不相等。
在这里，没有东西处于其下 是 这个概念 的性质。而“没有东西处于其下的概念”，是一个概念。好比“红苹果”。那么不同的 没有东西处于其下的概念 之间，比如“与自身不相等”这个概念，没有对象处于其下，它的外延就是一个数0。 0是唯一一个可以用概念内涵在部分之间根据逻辑关系而复合得到一个整体上为空。一个没有内涵的概念没有对象处于其之下。或者说，其外延是数0.
不为了形式而形式。而是为了一个确定而有限的目的或内容而讨论和使用形式。/
现在，必须能够借助于前面的规定证明，每一个没有东西处于其下的概念和其它每一个没有对象处于其下的概念是等数的，并且只与这样一个概念等数，由此得出，0是属于这样一个概念的数，而且如果属于一个概念的数是0，那么就没有对象处于这个概念之下。
如果我们假定，一个对象既不处于F这个概念之下，也不处于G这个概念之下，那么为了证明等数性，我们必须有一种关系φ ，对于这种关系φ来说，下面的句子是有效的：
每个处于F之下的对象与一个处于G之下的对象有φ 这种关系；
每个处于G之下的对象与一个处于F之下的对象有φ 这种关系。
根据前面关于这些表达式的意谓的论述可以看出，根据我们这些假定，每个关系都满足这些条件，因而相等也满足这些条件，此外相等还是一一对应的；因为它对于上面为此提出的两个要求都是有效的。
相反，如果一个对象，譬如a，处于G之下，而没有任何对象处于F之下，那么
a处于G之下
和
不存在处于F之下的对象与a有φ这种关系
这两个句子对各个φ 关系共同成立；因为第一个句子根据第一个假定是正确的，第二个句子根据第二个假定是正确的。就是说，如果不存在任何处于F之下的对象，那么也就没有任何于a发生关系的对象。因而就没有下面的关系，根据我们的解释，这和总关系使处于F之下的对象和处于G之下的对象相对应，因此，F 这个概念和G这个概念不是等数的。
/但是，这里，前一个证明还是不明白。应该把0看作一种特殊的情况。在0这个数里，是基于一个没有东西处于其下的概念直接就能给出数。而这样的一个概念的给出，按弗雷格的选择，撇除那些需要经验的概念，比如对于一个单身汉a，他没有孩子，说a的孩子 这个概念的数是0.这里始终有一个a的情况的综合经验命题。如果a是我，那么这个句子就是假的了。而弗雷格指出的是一个纯粹逻辑的概念“与自身不相等的”，这个概念总是没有任何对象处于其下，从而可以说，基于一个逻辑概念，就能指出0这个数。因而，0是可定义的。“等数的” 这个概念，在不同的没有对象处于其下的概念之间，是两个空集之间项或对象的一一相应（即等数）的证明的要求，可以看作飞控集合的项之间具有一一相应的情况的一种特殊的情况。
弗雷格随后指出了0和任何别的数之间的不相等。
在弗雷格的证明里，属于一个概念的数的相等，通过处于其下的对象的一一相应的指出，先于这个数受到指出。而数作为概念的外延，也就是相等的所在的东西——不同的概念在数上相等。
但是在0这个数，也是一样么？没有对象处于其下的概念之间的等数或相等，觉得难以通过处于其下对象的一一相应来指明。没有对象，怎么说明对象之间的关系？就是说，一一相应或关系本身不存在。但是在这里，可以认为，可以先于数的相等就指出这个数。在这里，倒是可以把相等看作根据数的给出迩来的东西。但是在任何别的数那里，总是一种相等先于数被给出。
§76
现在我要解释自然数序列中每两个相邻项的相互关系。假定
存在一个概念F和处于它之下的这样一个对象x， 使得属于F这个概念的数是n，而属于‘处于F之下但是不等于x’ 这个概念的数是m
这个句子与
n在自然数序列中紧跟m
这个句子具有相同的意谓。
/这里，一个对象x处于一个概念F之下是什么意思？对象x指的是看作单位的某个东西，还是多的看作一个的东西，一个union？应该是后者。如果这样，就可以说基于对象（多），可以说有某一个数属于某个概念。这样看的话，这句话中‘处于F之下但是不等于x’ ，处于F之下的对象就不是x了，这里厘清了一种概念、数和对象之间的关系。
举一个例子。这4苹果和那5苹果。前一个对象处于苹果这个概念之下，使得属于苹果这个概念的数是4。后一个对象处于苹果这个概念之下，使得属于苹果这个概念的数是5。弗雷格在这个句子中使用了一个系词，联系起了两个分句：使得。“存在一个概念F和处于它之下的这样一个对象x， 使得属于F这个概念的数是n”。这里就有一种语境的指示。而后半句：“属于‘处于F之下但是不等于x’ 这个概念的数是m”。按照这种句式，属于“处于F之下并且等于x”这个概念的数，是n。弗雷格在前半句又说，属于F这个概念的数是n。可见，属于F这个概念，和 属于‘处于F之下并且等于x’ 这个概念，意谓相等。后面这个表达式正是我一直理解的，完整的表达。但是由于这里是一个假设句或条件句，所以x这个对象始终并没有给予出来，并且也是难以通过语言给予出来的。语言中大致只能通过一个不定冠词”这“来指称它。所以弗雷格的表达也可以接受，作为一种语言上的简洁和言说的可能而不得不接受下来。
但是，这种设想和前面一一对应的阐述有冲突，这里还要继续想
/63节，休谟的观点：如果两个数以某种方式结合起来，使得一个数总有一个单位，这个单位相应于另一个数的每个单位，我们就说它们是相等的。数的相等必须借助于一一相应来定义。
这句话的翻译应该是：如果两个数这样结合起来，使得对于另一个数的每个单位，一个数总有一个单位与之相应
when two numbers are so combined as that the one has always an unit answering to every unit of the other
另一个数的每一个单位。说明一个数具有多个单位。比如5个苹果，每个苹果就是一个单位。单位可以理解为一个某物。概念则是某物，不带有“一个”这个定语。
单位，是1和概念的结合，表示的是某物的普遍性，或一般的某物。比如1苹果。而单位，概念本身都是逻辑。它们表示一种一般的概念。1苹果则是一个具有经验内容的实例。单位作为1和概念的结合，基于其分有数和概念的两个部分，分别代入某个数和某个概念，就形成关于事物的表达。
每个处于F之下的对象与一个处于G之下的对象有φ 这种关系； 每个处于G之下的对象与一个处于F之下的对象有φ 这种关系。
every object which falls under F stands in the relation φ to an object which falls under G; every object which falls under G stands in the relation φ to an object which falls under F.
这句话怎么理解？比如F是桔子，G为苹果，一个对象处于桔子之下，比如这5桔子，或那5桔子，它们和5苹果之间，有一一相应的关系。这里的一一相应，不是指对象的一一相应，而是对象作为多，其每个单位的一个桔子、一个苹果之间的一一相应。
这里的对象指事物多看作一个或带入一个意意识里来的union，而不是多之中独立部分的某一个。对象指多。
语境原则，词语的意谓要置于句子的联系中得到讨论。基于一个以其意谓为思想中的对象的东西，基于句子意谓真而得到一次间接的谈论。这里，语词专指意谓对象的名称。概念词直接意谓一个概念，不必置于语境原则之中作间接的谈论。
回到76节的措辞：
现在我要解释自然数序列中每两个相邻项的相互关系。
假定 “存在一个概念F和处于它之下的这样一个对象x， 使得属于F这个概念的数是n，而属于‘处于F之下但是不等于x’ 这个概念的数是m ” 这个句子与 “n在自然数序列中紧跟m” 这个句子具有相同的意谓。
属于一个概念的东西是数。处于概念之下的是对象。而一个数之属于一个概念，基于对象的经验情况的给出而定。
对象x处于概念F之下。使得属于F这个概念的数是n。
处于F之下但是不等于x：处于F之下的是一个对象，比如y，y不等于x。
这两个句子都表示一个数。比较之下，可以看到对于一个数的表示的充分根据所在。包含两个要素：概念和对象的给出，它们带来一个处于概念之下的数。后一个句子在一个句子里给出了这两个要素。 只是和前一个句子相比，有着清晰的概念和对象的给出，以及数基于属于概念而得到。后一个句子中，对象和概念相结合在一起了。处于F之下但是不等于x，算一个概念么？算。处于这个概念之下的是一种普遍对象，这种普遍对象和处于F之下的对象x，它们之间同类：都处于F之下。弗雷格在这一节的这句话里要指出的是，前一句话和后一句话意谓相同。这就是说，前一句话中的m作为一个确定的数给出来了，那么，“处于F之下但是不等于x”，这里的“不等于x”就进到 等于什么 的一个存在或be的指出了。
在线的平行里，可以化归于方向的相等，方向就是 与线a平行的 的外延。
在概念的相等（中文翻译为等数）里，可以归于数的相等或对象间单位的一一相应的关系。与概念相等的 的外延就是数。 属于概念的是一个数，即 与概念相等的 的外延。
属于“处于F之下但是不等于x”的，就是 与概念相等的 的外延，就是一个数。
一个对象（多）处于概念之下，产生一个数的意识。在这里，概念是对象的种属，而非属性。即使出现长这样的属性概念，也可以化为一个某物的长度是a 这样的同一性命题里的一个对象。
从对象基于概念可以到一个数。但是我们这里讨论的是数的概念，或者分析数是怎么来的。就要从一般性中来描述数这个概念。弗雷格说数的重认。就是在语言的不同涵义中意谓的相等。弗雷格说概念的相等，中文翻译为概念的等数，就是指出处于F之下的一个对象a，和另一个处于G之下的对象b，ab之间具有一一相应的联系。比如这5苹果，那5桔子，每个苹果总在一个桔子那里具有相应，而每个桔子也总有一个苹果相应。相应这个关系，每个a有一个b相应，意味着作为不同的集合的单纯的项的多，a属于b，或a<=b。而每个b有一个a相应，是b属于a，或b<=a。这两个句子同时为真，则意味着a=b。这里的相等是不同对象作为多的集合在数上而言的相等，而非实体a=实体b。前面的ab之间的关系也是这么一种在数而言的关系，而不是就ab自身作为对象而言的同一。
而怎么表示一个数呢，从事物和概念出发？一种，是属于一个概念的东西就是一个数；另一种，是事物处于概念之下的相等，相等的或者相等所在之处就是一个数。
这个红苹果和那红桔子，它们在颜色上相等，而这里，相等的颜色就是红。而在数的讨论里，事物或对象（多）在概念之下的相等，是在数的概念下的相等，相等的东西是数概念下的一个数。
弗雷格说，适合F这个概念的数 是 “与F这个概念等数的”这个概念的外延。在这里，外延这个概念值得仔细考虑。弗雷格没有进一步解释，而交给读者的意会，并且他指出外延这个概念基于这么一种领会而得到理解，必然有其类似于逻辑这个概念的难以解释性。就基于这个句子来揣摩。 “与F这个概念等数的”这个概念，处于其下的对象是另一个概念比如G，处于F和G之下的对象之间具有一种一一相应的关系。从“与F这个概念等数的”这个概念到G这个概念，以致到一切“与F这个概念等数的”的概念，看似也是一种外延。这种外延是从概念到处于概念之下的事物或对象。但是弗雷格这个句子中的外延，有所不同。这就是说，我们有两种不同的方式谈论一个概念的外延。一种是前面的例子，我们从一个概念进到由这个概念迩来的事物的一个类，这个类是由事物作为项所构成的。是一种从概念到事物的衔接。概念通过外延近于一种对于事物的指出的定义。另一种就是数这里的情况。以及在方向之于 与a平行 。在这里，概念不是前一种例子中作为一个事物的第二实体的概念，而是一种性质，通过这种性质到达具有这种性质的事物，从而这个概念和事物相衔接。在这里，概念的外延，是从一个对象处于和别的对象的关系概念，化归于对象自身的一个性质，使得通过这个性质的相等能满足这个对象和别的对象具有那样一个关系。弗雷格谈到的概念的外延，就是在关系概念化归于一个性质概念的相等。把这个性质看作关系概念的外延。在这里，关系概念是事物之间的，而性质关乎事物自身的考量。关系概念不能脱离对象而单独被考虑，比如我们难以离开直线谈论平行（或者平面）关系，按照罗素的说法，关系是由多个项迩来的形容词。但是，我们可以相对独立地谈论一个性质概念，比如角度，颜色，以及数。
不同的对象可以在性质上相等。在这里，性质属于事物（一）。不同事物在数上相等，数却不是事物的性质。而是基于概念的主观随意取择迩来的对于把对象看作多。数表示多。而多自身每一个的形式的思想，就是这里数所属于的概念。数可以看作多的性质。多是数和概念的结合，而不同的概念之所以看作相等的（等数的），在于处于其下的对象之间具有一种一一相应的关系。而其相等所在，是数。
在这里，从概念出发，指出属于概念的一个数，得到的是对象或多的意识。而从概念出发，基于对语言之外的材料的整理，得到的是一个数。在这里，前一句话中的对象或多都是处于语言之中的思想的东西了，而后一句话中的语言之外的材料，是类似于康德的感性杂多，它们还没有形成概念，通过综合统觉带入一个意识中来，因而它们还是不能言说的意识或经验的材料。语言谈论的，总是意识、存在的一。即使罗素的多而不一的关系，也在关系中达成一种整体，只不过这种整体以多的存在而不是取消为自身的条件。
这样，就可以整理出意识的一个从无到有过程。先是感觉材料的给出。然后是某物的概念的出现，然后基于这个概念对材料进行统觉的统一，得到处于概念之下的多，或者说，一个数。进而数和概念的结合形成一个对象的意识。
与F这个概念等数的 的外延，是一个数。就是属于F的数。弗雷格的措辞，是表现出一种重认，基于处于F之下的对象和处于G对象之间具有一一相应，而说F和G是相等的。基于这种重认的需要，弗雷格使用这样的措辞，把数看作 “与F等数的”这个概念的外延，而不说属于F这个概念的东西。弗雷格把后者看作被定义的符号，用前者来定义它。说明后者在弗雷格这里还不是直接的。
这里考虑弗雷格的语境原则。弗雷格认为语词的意谓要置于句子的联系中来考虑，通过句子的意谓/真，来谈论语词的或专名意谓的对象。对于数，弗雷格也是秉持同样的语境原则的立场。所以提出数的重认的需要，从而在定义数时，使用这种“与某个概念等数的”这个概念的外延来定义适合这个概念的一个数。可是按我的理解，数是唯一根据语言自身就给出符号的意谓的专名。当然，这并不妨碍把弗雷格的这种定义看作一种解释的正确。这里一下子难以想清爽，可以遇到问题慢慢想，看书时继续想，作为一个悬疑放着。
a这条线的这个方向，是 “与a这条线平行”这个概念的外延
适合F这个概念的数，是 “与F这个概念等数或相等的”这个概念的外延。
在这里，可以看到弗雷格的外延，不是传统使用中，把处于概念之下的事物的类看作其外延。原因不是弗雷格反对它，而是弗雷格讨论的数或性质有别于处于概念之下的对象那种情况。按传统的情况，这个概念应该 是“与F这个概念等数或相等的概念”这个概念。但是“与F这个概念等数或相等的”这个概念只是前面这个概念的一个部分，并且这个概念中的主词“概念”，表明之前的部分是作为这个概念的性质的东西，定语成分的东西。概念和概念的外延之间，是属种差和实例的序列里，共相概念和下属于概念的实例之间的关系。这样，“与F这个概念等数或相等的”这个概念的外延不是“与F这个概念等数或相等的概念”这个概念的外延，后者是事物，而前者不是事物，而是事物处于概念之下所得的东西。
“与a这条线平行的线”这个概念的外延是所有与a这条线平行的线。但是“与a这条线平行”这个概念的外延，是所有与a这条线平行的线的共性，即方向。在这里，有一个思想的使用，即：把概念分析成不同成分，其中有概念部分，也有这个概念的性质部分，作为一个概念的定语的成分。关于概念的外延，我们熟悉概念和事物之间的运用。但是当一个概念不是一个实体范畴的概念，而是一个性质的概念时，这个性质概念的外延可以从其所参与的一个实体概念的外延那里，一系列事物构成的一个类或集合，作为其共性的成分的东西。这样，“与a这条线平行”这个概念的外延，就是“与a这条线平行的线”这个概念的外延的共性，即方向。而数，也可以类似地得到。“与F这个概念等数或相等的”这个概念的外延，就是“与F这个概念等数或相等的概念”这个概念的外延的共性，这个外延是所有等数的概念，其共性就是属于它们的同一个数。
这里，一般语言中的性质和数的一个区别。平行线的共性是方向，即相互平行的线之间方向相等。在这里，相互平行的线 这个短语给出了方向的相同，但是在任何一条具体的线给出之前，并没有给出这个方向是朝东呢还是朝西。而a这条线的这个方向，由于给出了一条线，所以其方向也被规定下来了。在数的情况中，适合F这个概念的数，这个表达式中总还是需要某物对象作为句子的语境，从而才可以确定下来一个数。弗雷格在说 适合F这个概念的数 时，怎么样算适合，并没有解释。就如同弗雷格对于外延也置于一种领会之中不解释。这时是由于事物难以在概念和数之先被表达于语言之中。我们关于事物的表达，这5苹果，总是基于概念和属于概念的数的结合来表达它。但是现在我们谈论的是概念和数本身的定义或解释，这样，就有一种语言之先的东西作为语境受到考虑。正是基于这语言之先的事物置于概念之下，才带来了一个数。就像一段绳子，在尺子的度量之下带来一个数量，我们说这段绳子的长度是2米，这里总有一段绳子先于长这个概念给予出来，然后才能确定2这个数。在这些苹果有5个 的例子里，谈论的困难在于提到苹果这个概念时，被谈论的事物就难以抽掉苹果而得到谈论，那样的话，余下的只是一个单纯的指称“这”，只是一个定冠词，从而事物总是难以出现在对于数的定义之中。所以弗雷格只是说道，适合一个概念的数。至于一个数怎么算适合一个概念，其根据的东西，并没有说出来。
只有在0作为属于 与自身不相等 这个概念的数，0这个数是单纯地由概念自身内涵，逻辑地可得。这个概念凭自身确定了对象处于自身之下这样一个性质。1这个数地定义继续往下看。
/每个a，在这里理解为对象a之下的每个单位。多的每一个独立部分其自身又看作的一。
回原文
我避免用“n是跟在m后面的这个数” 这个表达，因为为了证明这个定冠词的合理性，必须先证明两个句子。出于同样的原因，我在这里尚不说“n=m+1” ；因为通过等号，（m+1）也被表示为对象。
前面关于对象的理解有问题，不对。
72节的一个定义：
“F这个概念和G这个概念相等” 这个表达 与
“存在一种关系φ，它使处于F这个概念之下的对象与处于G这个概念之下的对象相互一一相应”这个表达
具有相同的意谓。
如果对象是多，那么这里的一一相应就是处于对象之下的可能的类作出规定。比如处于F下可能的这5苹果，那5苹果等作出和这5桔子，那5桔子之间相应的规定。它规定的是不同5个F某物的可能数目和5个G某物的可能数目之间的规定。这是错的。弗雷格说概念的相等的时候，总是基于对象作为一而言，多个对象处于一个概念之下，比如这苹果那苹果它们作为2苹果，从而说在这里是2这个数处于苹果这个概念之下。这个例子是经验例子。
弗雷格则进一步通过逻辑而非经验直接指出数。他的方法是首先通过一个逻辑概念“与自身不相等”的没有对象处于其下，从而指出0这个数属于这个概念。
然后弗雷格指出从一个数到紧跟着的下一个数的根据逻辑而作出规定。假定
“存在一个概念F与处于其下的这样一个对象x，使得属于F这个概念的数是n，而属于‘处于F之下但不等于x’这个概念的数是m”
这个句子与
“n在自然数序列中紧跟m”
这个句子具有相同的意谓。
正因为对象自身是一，处于概念之下的是多个对象，这句话才能理解。这里的x是一个对象一，而非多个事物看作一个对象的整体的东西。我前面的理解错了。然后来比较这个句子里的两个概念：F和‘处于F之下但不等于x’。假设处于F之下的对象有x、y、z。那么，处于F之下但不等于x ，处于这个概念之下的对象就是y和z。后一个概念可以表示为：以处于F之下的对象中除了x之外的其余对象为处于其之下的对象的概念。概念在此与对象的相对中使用。而一个概念就其自身受到考察时，没有数属于它，因为一个数总是基于某些对象处于某个概念之下而被给予出来，没有了处于概念之下的存在的对象的考察，数就没有通过属于概念而受到谈论的意义。
存在一个概念F与处于其下的这样一个对象x，使得属于F这个概念的数是n。这个句子中的“存在”很有意思。它指出了语言表达的东西，具有事物中的相应，或者说指出语言在谈论事物。存在 开头的句子，具有这种赋予语言自身表达事物的功能。它相当于在语言上说出随后思想的真。弗雷格说真是言外之意，不能述诸于文字。存在通过 真 之外的符号表达了真。存在对象a，并没有指出a的内涵，但是指出了a的实存。
如果按照我之前对于对象看作多的错误的理解，一个概念比如F就在自身之中先天地包含了关于处于其下的对象。而这是不对的，概念和对象之间始终是根本的不同，概念需要受到对象的补充，而不是基于概念自身给出对象。后面这种情况是通过概念来定义对象，是指称词组中的情况，其前提是，有且仅有一个对象处于概念之下。
通过概念谈论的是普遍的事物。比如包含H2O的一个化学方程式，是关于任何水的一种普遍谈论。
逻辑，在自然科学中是不自觉的运用，就是遵从逻辑的规定但是对于逻辑本身没有特别的关注。而在哲学的反思，逻辑本身作为对象受到认知，它就是思想的内容。所以哲学总是谈论一般形式的思想。而科学知识作为普遍规律毕竟总还是具有特定质料作为思想的实在性的基底。而哲学谈论的形式的思想无关于实在性。但是，实在性作为概念，而不是思想的基底，出现于概念思维之中。
不同人之间，审美的点的不同，甚于观点的冲突。这其实就是在说，关注什么，把什么看作重要的，基本的，比给于给出的确定对象的思想的不同在先，更为基本。审美的差异比给于某物在思想或观点上的冲突更为基本。或者就观念而言，对象和概念的选择，先于某个对象和某个概念置于关系之中构成的一个观念。就此而言，意识的一首先是基于主体、生命而带来其主观方面的原因。
这个社会确实市场导向了，但是在此之前规定下来的是权力的逻辑。造成的结果就是人对于权力格局中的实例的无条件的迎合，由于权力在社会生活中占据了主导地位，而社会自发秩序，自生的需求处于整体格局上受其主导的地位。就是说，当两者冲突时，优先服从权力系统。自生发的社会秩序只是处于一种弥补前者缺位所留下来的空缺的作用，是一种零碎的缝缝补补的性质。而市场并不在意谁是主体，当权力成为市场主体时，市场的原则就会使得处于其中的个体在其行为上遵从一种对于市场主体的需要的满足。由此，对于权力的尊重和遵从而不是对于一种自发秩序的社会中个体需要的尊重和遵从成为这样一种社会中的无可非议的道德原则。只要政治文明还没有作出尊重个体权利先于权力，并且以满足个体权利的保障为政治权力设计的目的，在此之前，道德无人性可言。
