矩阵代数(四)- 分块矩阵
2019-03-06 本文已影响0人
mHubery
小结
- 分块矩阵
- 分块矩阵运算
- 分块矩阵的逆
分块矩阵
矩阵,也可写成分块矩阵的形状,它的元素是分块(子矩阵)
加法与标量乘法
若矩阵与有相同维数且以相同方式分块,则自然有矩阵的和也以同样方式分块。这时的每一个分块恰好是和对应分块的(矩阵)和。分块矩阵乘以一个标量也可以逐块计算。
分块矩阵的乘法
设,
的5列被分成3列一组和2列一组。的5行按同样方法分块---被分成3行一组和2行一组。我们称和的分块是与分块乘法相一致的。的乘积可以被写成
设和。验证。
于是
这个矩阵恰好就是。
定理10(的列行展开)
若是矩阵,是矩阵,则
分块矩阵的逆
形如的矩阵称为分块上三角矩阵。设是矩阵,是矩阵。求的表达式。
解:用表示且把它分块,使得。
则有:
因可逆,且所在行其余列全为,可知必有q个主元位置,故。
。
于是。同理.
最后。
。
最终得:
分块对角矩阵是一个分块矩阵,除了主对角上各分块外,其余全是零分块。这样的一个矩阵是可逆的当且仅当主对角线上各分块都是可逆的。