高中数学纲目

函数与导数之目：2022年新高考全国卷题22问题2

2022-06-27 本文已影响0人易水樵

2022年新高考全国卷题22

分值：12分

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln(ax)}{x} - \mathrm{e} \ln x$ ( $\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 是自然对数底数 )

（1）当 $a=\mathrm{e}$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性;

（2）当 $a \gt \mathrm{e}$ 时，证明： $f(x) \lt (a-1) \mathrm{e}$ .

【解答问题2】

$f(x)=\dfrac{\ln(ax)}{x} - \mathrm{e} \ln x$

定义域为 $(0,+\infty)$ ,

当 $a \gt \mathrm{e}$ 时， $\ln a \gt 1$

$f'(x)=-\,\dfrac{\ln(ax)+ex-1}{x^2}$

记 $h(x)=\ln(ax)+ex-1$

函数 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增；

$h(\dfrac{1}{a})=\dfrac{e}{a}-1 \lt 0,$

$h(\dfrac{1}{e}) =\ln(\dfrac{a}{e}) \gt 0,$

∴ 函数 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一的零点；且零点在区间 $(\dfrac{1}{a} ,\dfrac{1}{e} )$ 内；

∴ 导函数 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一的零点；且零点在区间 $(\dfrac{1}{a} ,\dfrac{1}{e} )$ 内；

记该零点为 $x_0$ , 则 $x_0 \in (\dfrac{1}{a} ,\dfrac{1}{e} )$ , $h(x_0)=0$ ;

∴ $\ln(ax_0)=1- \mathrm{e} x_0$

$f(x_0)=\dfrac{1}{x_0}- \mathrm{e} + \mathrm{e} \ln\dfrac{1}{x_0}$

令 $t=\dfrac{1}{x_0}, \; g(t)=t+ \mathrm{e}\ln t$ ,

则 $f(x_0) = g(t) - \mathrm{e}$

∵ 函数 $g(t)$ 单调递增且 $x_0 \in (\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{\mathrm{e}})$ , $t \in (\mathrm{e}, a)$

∴ $g(t) \leqslant a + \mathrm{e} \ln a$

又∵ $\ln x \leqslant \mathrm{e} x$ ,

∴ $g(t) \leqslant 2a$ ,

∴ $f(x_0) \leqslant 2a -e \lt \mathrm{e}a- \mathrm{e}$

∴ $f(x_0) \lt (a-1) \mathrm{e}$

∵ $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增； $h(x_0) =0$ ,

$x^2 \gt 0$ ,

∴ 当 $x \in (0,x_0), f'(x) \gt 0$ ;

当 $x \in (x_0, +\infty), f'(x) \lt 0$ ;

∴ $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的唯一极大值点，也是最大值点,

∴ $f(x) \lt (a-1) \mathrm{e}$ . 证明完毕.

【提炼与提高】

这是2022年的压轴大题，难度确实比较高。

对于这类难题，多数老师会建议学生放弃。笔者认为：根据自己的实力，在考试中过程中放弃一部分题目，是正确的策略；但在备考过程中，还是应该勇敢地挑战难题，这样水平才会不断提高。假如见到难题就绕开，水平是难以提升的。

本题解答中用到的方法和技巧，在以前的考题中是出现过的。详见下节的相关考题。

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