(1989)Generalization and Network
Yan Lecun在这篇论文主要讨论了神经网络（或者更普遍的监督学习模型）的泛化性能和一些针对具体问题设计神经网络的技巧。
这篇论文的一个主要观点是：处理实际问题时，当针对该问题的先验知识被加入到监督模型的设计中时，设计出的模型通常能在该问题上面获的更好的泛化性能。
该观点实际上要说的就是具体问题应该具体分析，没有一个模型能同时处理所有的问题，就算是最聪明的人类大脑，不还是由不同的区域如视觉区、听觉区等组成嘛，每个区域负责不同类型的任务。
比如针对视觉识别问题，离得越近的区域，图像内容的相关性越大，先提取图像的局部信息，然后再将局部信息进一步组合，可以得到更高级的特征，这就是视觉识别问题的先验知识。那CNN网络就是将该先验知识加入到模型设计中的完美体现。
1. 监督网络的泛化性能（generalization）
泛化性能和哪些因素有关？如何提高模型的泛化性能？
通常情况下，网络的泛化性能取决于假设空间的大小/网络中自由参数的数量和训练样本的大小，减小网络中自由参数的数量、增加训练样本的数量，能有效提高网络的泛化性能。
对此，论文中举了曲线拟合的例子：如果用一个曲线模型（如多项式）去拟合一堆样本点，当模型的参数数量与样本点数量相当的时候，构造的曲线能完美地拟合所有训练样本点，但是对于新的测试点，拟合出的曲线表现通常会很差，特别是训练样本点中有很多噪声/异常点时。
相反，当模型的参数数量较小时，曲线不必去精确拟合每一个样本点，而是去学习训练样本通用的大致规律，从而对新的测试样本进行大致正确的预测。
其实，将具体任务的先验知识加入到网络设计中，通常能够有效地减少网络的自由参数数量，自然也就能达到较好的泛化性能了。
2. 提高网络泛化性能的常用方式
那如何减小网络中自由参数的数量以提高泛化性能呢？文中提到了三种方法：
第一种方法是在网络的训练过程中，动态地删除掉一些无用的连接（useless connections），这可以通过在损失函数（cost function）中增加一项，用于惩罚那些拥有过多参数的网络。也就是正则化思想。
第二种方法是权重共享（weight sharing），指的是使用单个参数（weight）控制多个连接（connections）。权重共享可以被解释为在这些连接强度上面施加相同的限制（contraints）。
第三种方法实质上是权重共享的泛化，称作权重空间转换（Weight-Space Transformation, WST ）。WST基于这样一个事实：在学习过程中，模型参数的优化并不一定要在权重空间中（weight space）执行，可以在任何适合该优化任务的参数空间中执行，只要权重空间可以由该参数空间通过已知的转换公式（transformation）计算得到，同时该转换公式的雅克比矩阵（Jacobian matrix）已知（因为在反向传播计算损失函数关于参数空间的梯度时需要用到）。
3. 具体问题举例：数字识别
文中第三部分，针对一个数字识别问题，设计了5种不同的神经网络模型，每个模型拥有不同大小的模型参数数量，此外，一部分模型中加入了该任务的一些先验知识。并通过实验结果验证了前面提出的主要观点。
3.1 数据集
数字识别问题（识别数字0-9，和MNIST类似的分类问题）的数据集特点如下：
- 包含480张数字图片，其中320张作为训练集（training set）和160张测试集（test set）；
- 每张图像大小是16x16，是由工作人员用鼠标作画的位图（bitmap），部分图片如下所示：
3.2 激活函数和损失函数
神经网络所用的激活函数是双曲正切函数：
其中A和S是超参数，论文中A=1.7159，S=2/3。
双曲正切函数的表达式和图像如下：
网络的损失函数用的是均方误差（mean squared error）:
下面是针对数字识别问题设计的5个模型的细节：
Net-1: A single layer network
- Net-1是一个单层网络，输入向量和权重向量的点积，再接一个激活函数，直接得到输出结果，这实质上是一个线性模型；
- Net-1包含了2570个模型参数（16x16x10+10=2570，包含bias）；
- 经过训练，Net-1在测试集上面的准确率是72%-80%。
Net-2: A two-layer, fully connected network
- Net-2在Net-1的基础上增加了一个隐藏层H1，H1包含12个神经元，实质上是一个多层感知机（MLP）；
- Net-2包含3240个模型参数（按道理应该是16x16x12+12+12x10+10=3214个模型参数？？？没懂。。。）；
- 经过训练，Net-2在测试集上面的准确率达到了87%；
- 文中提到，Net-2在泛化性能上面的标准偏差比Net-1要大许多，表明网络处于欠定状态（underdetermined），进一步指出Net-2模型太大，即拥有太多的自由参数。
Net-3: A fully-connected, 3-layer network
前面的两个网络都是全连接网络。
文章中指出，之前在视觉识别任务方面的工作已经证明了：对于图像识别这类任务，可以先提取局部特征，然后将其结合成更高级的特征。因此，对于数字识别的问题，网络的隐藏层可以先提取输入图像的局部特征，然后进一步结合成更高级特征，即将数字识别任务的先验知识加入到Net-3的设计中。
Net-1、Net-2和Net-3的模型结构如下图所示：
Net-3包含了两个单通道的隐藏层H1和H2，实质上是不共享权重的卷积操作，根据论文：
- H1卷积层采用了3x3的卷积核，得到8x8大小的feature map；
- H2卷积层采用5x5的卷积核，得到4x4大小的feature map；
- H2全连接到包含10个神经元的输出层，整个Net-3包含1226个模型参数，解释一下，因为Net-3Z中的卷积操作不共享权重，因此总的模型参数=(3x3x8x8+8x8)+(5x5x4x4+4x4)+(4x4x10+10)=1226。
- Net-3在测试集上面的准确率比Net-2稍好，达到了88.5%。但由于Net-3比Net-2小了接近3倍，因此速度快了许多，同时Net-3的泛化标准偏差（???也不太懂）比Net-2减小了许多。
Net-4: A constrained network
Net-4的设计依据是：图像的目标在不同位置通常包含多个不同的特征，因此有必要同时使用一组特征检测器（feature detectors）用于检测输入图像中的不同特征。
另外，对于图像分类问题，目标特征的精确位置信息不太重要，只需要保留特征的大致位置信息，以便接下来的卷积层用于进一步组合，得到更高级的特征。这其实就是每一个卷积层都进行了下采样操作的原因（16-->8，8-->4），因为逐渐的下采样能保留特征大致的位置信息，更重要的是，随着每一层的feature map逐渐减小，后面的全连接层的权重参数数量会大大减小（有助于提高模型的泛化性能）。
Net-4的网络结构如下图所示：
Net-4采用了和Net-３相似的设计，包括每个卷积层的卷积核大小，以及feature map的大小。相比于Net-3，Net-4具有如下改进：
- 在H1卷积层使用了两组卷积，得到2个8x8的feature map，试图捕获输入图像的不同特征；
- H1中，同一张feature map中的所有单元（units）分享同一组卷积权重（权重共享），用于检测图像中不同位置的相同特征，但是使用不同的bias。
- H2中的卷积不共享卷积权重；
- 这样，总的模型参数=(3x3x2 + 8x8x2) + (4x4x(5x5+5x5+1)) + (4x4x10+10) =1132；
- Net-4在测试集上面的准确率达到了94%。
Net-5: A network with hierarchical feature extractors
既然Net-4中的卷积权重共享和多个特征检测器（多通道的feature map）效果不错，那Net-5在Net-4基础上更进一步：
- H1和H2的卷积操作都采用权重共享，H1还是采用2个feature map，但H2使用了4个feature map；
- 这样，总的模型参数=(3x3x2 + 8x8x2) +(5x5x2x4 + 64) + (4x4x4x10 + 10)=1060。
- Net-5在测试集上面的准确率达到了98.4%，而且训练速度比前面的版本更快，表明使用多个层级、多组权重共享的特征检测器的效果相当不错。
5个模型的信息总结在下面表格中：
4. 总结
当设计监督学习模型来解决具体问题时，重复这篇论文的主要观点：处理实际问题时，当针对该问题的先验知识被加入到监督模型的设计中时，设计出的模型通常能在该问题上面获的更好的泛化性能。
当然，某个问题的先验知识具体指什么？如何将先验知识加入到监督学习模型的设计中，这不是一个简单的问题。
但论文中至少证明了，针对图像识别任务，作者Yan LeCun大神成功将图像识别任务的先验知识（先提取局部特征，再进一步可以结合成更高级特征这一先验知识）加入到了神经网络的设计中，即实验中的Net-3、Net-4、和Net-5，并且获得了优秀的泛化性能。这可能就是CNN网络最初的设计初衷吧。
从这篇论文中大致可以了解到，现在火的不行的CNN网络，在大约30年前（1989）是如何被一步步探索出来的。而且，当时就出现的专业术语如权重共享（weight sharing）、感受野（receptive field）等，一直被沿用至今。另外还有如激活函数（tanh）、反向传播（Back-Propagation）算法、损失函数（cost function）、数据集划分时的训练集（training set）、测试集（test set），甚至还有数据增强（data augmentation）。
