一些有关von Neumann algebra 的内容

本来想讨论Witten&Penington的文章，准备的时候发现，还是先简单的介绍一些vN algebra还有最近的一些进展作为背景比较好。正好去年的讨论班我也讲了LL之前的关于emergent typeIII algebra 的工作，当时还有一些不太清楚的问题。在新的工作里，他们做了很多澄清，使他们的理论更加清晰，当然还有一些有趣的推广。

之前可能比较好入门的了解vN algebra的文献是Witten写一个note。不过其实读起来还是很多的困惑，而且内容涵盖比较多，可能让人抓不住重点，可能即使读过这个note几遍也不能比较容易地理解最新的一些工作。正好最近有一个MIT的博后Sorce，为了理解最近这些进展，写了一个新的关于vN的note。

舍弃一些数学上的严格证明，我们可以对vN algebra有一些直观的认识。但是因为抛弃了数学的严格性，也就不能有一些完备的结论，而只能是一些一般的结论。比如是不是所有的量子力学体系都对应了Type I algebra？所有的量子场论都是由Type III algebra 描述的？只能说在一般的情况是这样的，当然也不排除存在一些特例的可能，这就需要我们根据vN algebra的理解来自行分析。

对于vN algebra可能一个比较好的态度是：我们学过的量子力学也好，量子场论也好，虽然没有考虑vN的性质，我们还是可以认为里面的结论都是正确的或者近似正确的。研究vN algebra的性质，比如去问这个vN 是Type 几的，更多的时候我们是想从纯代数的角度来理解物理问题，并且期待，代数会告诉我们一些新的物理。

von Neumann algebra

要定义vN 代数，可以先假设我们有一个Hilbert space , 在上面就可以定义线性映射，即算符。在Hilbert space里面有些state 是可以归一化的，有些不可以的，我们考虑那些把可以归一化的state映射可归一化state的算符，这些算符就称为bounded。这些bounded operator就构成一个代数。

下面我们考虑一个具体的例子，在Rindler时空的自由场。我们假设Rindler时空的left wedge和right wedge是独立的，这样整个Hilbert space 就是 。所以我们可以定义两个代数和 ,假设整个代数就是。 很明显两个代数是互相对易的。对于, 就是它commutant，用一个'来表示。同样的 也是 的commutant 即 。

一般的情况下满足 的代数就称为vN 代数。

在我们的例子里，， 即代数和它的commutant的没有non-trivial 的交集，这样的vN 代数称为一个factor。factor其中一个性质就是 , 即它和它的communtant可生成整个代数。一般在物理里我们碰到的都是factor。

在我们这个简单的例子里的一个元素是什么呢？首先并不在里面，因为对于QFT，两点函数是有发散的

所以不满足bounded的性质。为了满足bounded的性质，我们在一个小区域里考虑一个平均的算符 ，这里是一个光滑的函数并且只在某一个小区域里不为0.

vN algebra的分类

vN algebra 的分类是按照 是否 在代数里存在一个effective density matrix。首先代数里面

所有正定(期望值都是正的)的element 都有可能是一个density matrix，因为它定义了一个分布 。但是这个分布并不一定是一个概率分布，要成为一个概率分布，他还要满足其他的条件, 比如这个分布应该可以被归一化。归一化条件可以简单的写成

当系统具有无穷多的自由度，trace 的定义可能不是良好的。如果能找到一个良好的trace的定义(注意这里的定义并一定是对所有的state求和)，我们总是定义其他算符的统计，比如

这样就可以把看成是一个等效的density matrix了。另外一个有关factor的性质是，它的trace 是唯一确定的up to a rescale。

根据这个条件，vN algebra 有三种：

1. Type I，有 pure state density matrix，和 mixed state density matrix

2. Type II, 只有 mixed state density matrix

3. Type III, 没有density matrix

subalgebra-subregion duality

可能所有最新的有关vN algebra的进展都是始于人们发现，在large N的极限下，AdS/CFT会出现一个emergent Type III vN algebra。在有限N的时候，AdS/CFT duality是说引力理论的Hilbert space 应该和CFT的Hilbert space 相等

所以在其上定义的algebra也是相等的

也就是bulk引力理论的（bounded）算符与边界场论的算符是有一个一一对应的，且这个对应是state-independent 的。当 的时候，有很多算符就是不良好定义的了，这就有可能导致了代数的结构发生了变化。但是在引力这边，对应的极限是, 在取这个极限的时候，似乎并不会直接影响bulk里面的算符，比如一个标量场算符,他是不显含的。所以似乎我们不能在直接naive的对(1)的两边取极限，然后直接得到一个两边代数等价的方程。

我们的做法是，先分别得到引力理论和场论的代数，然后证明或者conjecture他们是等价的。

场论

我们要分别定义在large N极限下的算符还有Hilbert space。

我们的边界场论是一个CFT，在N很大（对于二维场论来说是central c 很大）的时候，在OPE里我们可以只保留vacuum 的conformal block，所以算符只有non-trivial的两点函数，并且因为Hamiltonian是正比于N的所以他没有好的定义，换句话会所Hamiltonian不在代数里。这样的场论是一个generalized free field theory，或者Gaussian theory。因为没有时间演化，边界理论更像是一个统计理论。

在Vaccum state 上通过作用所有的算符，就能生成一个Hilbert space，这就是GNS构造。

当然我们也可以选取一个别的state，我们称为semi-classical state，用它定义的关联函数也是可以factorize成两点函数的。选取不同的semi-classical state，我们就能得到不同GNS Hilbert space。

这些不同的GNS Hilbert space 都是边界vN algebra 的一个表示，不同的表示是由不同的semi-classical state 来label的。

引力

在的时候，bulk里面的量子态就是通过在经典引力解上面的量子激发。很自然的，边界不同的semi-classical state对应里不同的bulk 的引力时空解。边界的generalied free field theory 也很自然地对应了bulk里面的一个自由场。自由场的Fock space 就对应了边界场论GNS Hilbert space。 同时，边界场论 vN algebra的每一个表示，也都对应了bulk里面的vN algebra。这里我们要强调的是，这个vN algebra 是state-dependent 的，区别于finite N 的情况。这里可能需要稍微澄清一下。

首先我们会说边界的vN algebra 是由generalized free field 构成的。或者对于N=4 SYM，是一些single trace operator。这些operator的OPE是不依赖于state 的选取的。所用OPE就能定一个算子代数。

但是这里我们是用关联函数来定义代数结构的，这就依赖于state来。换一种说法就是，选取不同的state，是选取不同算子代数的表示。当然这个表示本身也构成了一个vN algebra，然后我们说这个vN algebra 对应来bulk 里面的 vN algebra。

AdS/CFT

Emergence of time

首先一个有趣的点是bulk 时间点 emergence。bulk里面的自由场是有时间演化的，而在边界是没有时间的。从代数的角度来理解就是，bulk 里面算符的时间演化对应了边界代数的自同构。比如局域时间对应了modular flow，而global 时间对应了half-sided modular flow。bulk里面的horizon就对应了half-sided modular flow的奇异点。这里就需要用到Type III vN algebra 的性质，因为half-sided modular flow 只有对Type III algebra 才存在。

subalgebra-subregion duality

很自然地，不但bulk 和 boundary 的整个vN algebra 要等价，其中的subalgebra 也要等价。我们可以认为bulk 里面的subalgebra 都和一个subregion联系起来。这样我们就可以通过代数的性质从边界的一个subalgebra 重构出bulk里面的一个subregion。比如利用这个subalgebra的等价性来定义RT surface，而不借助于entanglement entropy。因为我们知道边界的一个sub-region对应的bulk subregion就是由RTsurface来包围的，也就是entanglement wedge。