概率论常用公式整理

2022-11-11 本文已影响0人翻译不了的声响

1. 运算定律

交换律：
$A∪B = B∪A， A∩B=B∩A$
结合律：
$A∪(B∪C) = (A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C$
分配律：
$A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)， A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)$
对偶律：
$\overline{A∪B} = \overline{A}∩\overline{B}，\overline{A∩B} = \overline{A}∪\overline{B}$

2. 基本公式

加法公式：
$P(A \cup B) =P(A)+P(B)-P(AB)$
减法公式：
$P(A-B)=P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)，$
$当B \subset A时：P(A-B)=P(A)-P(B)，P(A) \geqslant P(B)，P(A) \leqslant1$
$当A= \Omega 时：P(\overline{B})=1-P(B)$
乘法公式：
$P(AB)=P(A)P(B|A)$
全概率公式：
$P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+···+P(B_n)P(A|B_n)=$
$\sum _{i=1}^{n} P(B_i)P(A|B_i)$
贝叶斯公式：
$P(B _i|A)= \frac{P(B _i)P(A|B _i)}{\sum _{j=1}^{n} P(B _j)P(A|B _j)}$
$P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$

3. 条件概率

$P(B|A) =\frac{P(AB)}{P(A)} \geqslant 0，$
$P( \Omega|A) =\frac{P(A \Omega)}{P(A)} =\frac{P(A)}{P(A)}=1$

4. 事件独立性

两事件独立性：
$若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A、B相互独立；$
$若事件A、B相互独立，且P(A) > 0，则P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=P(B)$
$若事件A、B相互独立，则A与\overline B、\overline A与B，\overline A 与\overline B相互独立，$
$P(A \overline B)=P(A)P(\overline B).$
多事件独立性：
$若事件A、B、C两两独立，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，$
$则事件A、B、C相互独立。$

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