怎么求三角形中边或角的取值范围？

2020-08-10 本文已影响0人天马无空

求三角形中边或角的取值范围

三角形中的范围与最值问题，是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

类型一求三角形面积的最值问题

类型二求三角形中边或角的取值范围

使用情景：三角形中

解题模板：

第一步通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系；

第二步利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及其辅助角公式等转化；

第三步得出结论.

【例1】已知 $\triangle ABC$ 是锐角三角形，若 $A=2B$ ，则 $\dfrac{a}{b}$ 的取值范围是（）

A. $(\sqrt{2},\sqrt{3})$
B. $(\sqrt{2},2)$
C. $(1,\sqrt{3})$
D. $(1,2)$

【答案】A

【解析】

由题意得，在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理可得 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin A}{\sin B}$ ，

又因为 $A=2B$ ，所以 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin A}{\sin B}=\dfrac{\sin 2B}{\sin B}=2\cos B$ ，

又因为锐角三角形，所以 $A=2B \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$

所以 $\pi-(A+B)=\pi-3B \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ ，

所以 $\dfrac{\pi}{6}<B<\dfrac{\pi}{4}$ ，所以 $2\cos B \in (\sqrt{2},\sqrt{3})$ ，

所以 $\dfrac{a}{b}$ 的取值范围是 $(\sqrt{2},\sqrt{3})$ ，故选A．

【总结】

①本题易错在求 $B$ 的范围上，容易忽视“ $\triangle ABC$ 是锐角三角形”这个条件；

②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法.解三角形问题的本质就是实现边角的转化，本题给的是角条件，求的是边之比的范围，思路很清晰，借助正弦定理把边转到角上，问题就转化为三角函数的最值问题，而定义域即角的范围就成了关键，锐角三角形就是保证三个角均为锐角，利用好内角和定理及 $A=2B$ ，建立 $B$ 的不等关系即可．

【例2】在 $\triangle ABC$ 中，若 $3\sin C=2\sin B$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是 $AC$ ， $AB$ 的中点，则 $\dfrac{BE}{CF}$ 的取值范围为____．

【解析】

设 $AB=c$ ， $AC=b$ ， $BC=a$ ，

$\because E$ ， $F$ 分别是 $AC$ ， $AB$ 的中点，

$\therefore c^2+a^2=2BE^2+\dfrac{b^2}{2}$
$(\because \cos \angle AFB +\cos \angle CFB=0)$ ，

$b^2+a^2=2CF^2+\dfrac{c^2}{2}$ ，

$\because 3\sin C=2\sin B$ ，

所以有正弦定理得 $3c=2b$ ，

$\therefore 2BE^2=a^2-\dfrac{b^2}{18}$ ， $2CF^2=a^2+\dfrac{7}{9}b^2$ ，

$\therefore \dfrac{BE^2}{CF^2}=\dfrac{a^2-\dfrac{b^2}{18}}{a^2+\dfrac{7}{9}b^2}=\dfrac{18-\left(\dfrac{b}{a}\right)^2}{18+14\left(\dfrac{b}{a}\right)^2}=\dfrac{135}{126+98\left(\dfrac{b}{a}\right)^2}-\dfrac{1}{14}$

设 $\dfrac{b}{a}=t$ ，结合 $c=\dfrac{2}{3}b$ ，

由 $\begin{cases}a+b>c \\a+c>b\\b+c>a\end{cases}$ 可得 $\dfrac{3}{5}<\dfrac{b}{a}<3$ .

$\therefore \dfrac{9}{25}<\left(\dfrac{b}{a}\right)^2<9$ ,

$\therefore \dfrac{BE^2}{CF^2}=\dfrac{135}{126+98t^2}-\dfrac{1}{14} \in \left(\dfrac{1}{16},\dfrac{49}{64}\right)$

$\therefore \dfrac{BE}{CF} \in \left(\dfrac{1}{4},\dfrac{7}{8}\right)$

故答案为 $\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{7}{8}\right)$ .

【总结】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题，属于难题.求范围问题的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将 $\dfrac{BE}{CF}$ 表示为关于 $t$ 的函数，再根据方法⑤解答的.

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