R统计学(06): 负二项分布
前面我们介绍了多种离散型概率分布，大家可以点击下方链接来回顾：
今天介绍另一个离散型概率分布：负二项分布(Negative binomial distribution)。在实际生活中，我们可以使用负二项分布描述某种机器在坏掉前，能够工作的天数的分布；某运动员在获取r个奖牌前失败次数的分布等等。
1. 定义
负二项分布也基于伯努利试验，其定义有下面两种形式：
-
在一系列伯努利试验中，失败次数到达指定次数时，成功次数的离散概率分布
-
在一系列伯努利试验中，成功次数到达指定次数（记为r）时，失败次数（记为k）的离散概率分布
这两种定义只是将“成功”和“失败”对调，其本质上没差别。由于R中相关函数都采用第二种形式，因此下面将以第二种形式为例。其概率质量函数为：
其中：
-
k是失败的次数，为自变量，取值范围为0, 1, 2, 3, ...
-
r是成功的次数，为固定值。当r=1时，负二项分布退化为几何分布
-
p是伯努利试验成功的概率，失败概率则为1-p
在负二项分布的概率质量函数中，由于k+r次伯努利试验为独立同分布，每个成功r次、失败k次的事件的概率为。由于第r次成功一定是最后一次试验，所以应该在k+r-1次试验中选择k次失败，即组合数
作为系数。
2. 性质
从负二项分布的概率质量函数可以看出，其概率分布依赖参数p和r。负二项分布的期望值和方差为：
3. R中的相关函数
R中也有四个函数可用于负二项分布，分别是：
-
dnbinom(x, size, prob)：返回发生x次失败事件的概率 -
pnbinom(q, size, prob)：返回累积概率 -
qnbinom(p, size, prob)：返回相应分位点x，详情见下面的例子 -
rnbinom(n, size, prob)：返回每组发生失败事件的次数
这四个函数都有size和prob，分别对应于成功次数r和成功概率p。下面通过一个例子来了解如何使用它们：
某位运动员打算获得4个冠军后退役，假设每次比赛夺冠的概率为0.8，求该运动员获得4个冠军前所经历失败次数的概率分布？
分析：从题意可知，这个过程可用负二项分布来描述，其中成功次数r=4，成功概率p=0.8。
结果：
下表给出了在运动员获得4个冠军前，发生0到6次失败的概率分布为：
从表格结果可以看出，该运动员至少经历一次失败的概率高达59%
(= 1-P(k=0))。
下面我们利用R中的函数来计算相关量：
第一个问题：在该运动员获得4个冠军前，发生0次，1次和2次失败的概率分别是多少？此时要用到dnbinom(x, size, prob)函数，其中x参数指定失败的次数，函数返回相应概率，结果为：
> dnbinom(0:2, 4, 0.8)
[1] 0.40960 0.32768 0.16384
第二个问题：至多发生2次失败的概率是多少？此时要用到pnbinom(x, size, prob)函数，其中q参数指定至多失败的次数（这里为2），函数返回相应累积概率，结果为：
> pnbinom(2, 4, 0.8)
[1] 0.90112
第三个问题：90%概率下该运动员至多失败几次？此时要用到qnbinom(x, size, prob)函数，其中p参数指定概率(这里是0.9)，函数返回相应分位点x(即F(x)≥0.9对应的最小x值)，结果为：
> qnbinom(0.9, 4, 0.8)
[1] 2
结果表明，90%概率下至多失败2次
最后一个问题：重复10万组模拟，每组失败的次数是多少？这时就要用到rnbinom(x, size, prob)函数，其中n参数指定模拟的组数(这里为100000)，函数返回每组发生的次数，结果为：
> set.seed(123)
> ns <- rnbinom(100000, 4, 0.8)
> table(ns)
ns
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
41123 32677 16291 6608 2295 714 208 60 16 6 2
> mean(ns) ##失败次数的平均值
[1] 0.99703
> var(ns) ##失败次数的方差
[1] 1.246154
> 4*(1-0.8)/0.8 ##均值的理论值
[1] 1
> 4*(1-0.8)/0.8^2 ##方差的理论值
[1] 1.25
模拟10万组，41123组没有发生失败，与理论上40.96%不发生失败很接近。此外均值和方差也与理论值很接近。
负二项分布的介绍就到此结束，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持本公众号。
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