趣味数学：360的约数配对中，有多少对不成倍数关系？

2022-06-14 本文已影响0人易水樵

2021年希望杯全国数学邀请赛题9

从 $360$ 的约数中任取两个不同的数，使其不成倍数关系，有多少种不同的取法？

【解】

$360=2^3\times3^2\times5^1$

$2^a\times3^b\times5^c$ 的约数有 $(a+1)(b+c)(c+1)$ 个.

$360$ 的约数共有 $24$ 个. 最小的约数是 $2^0\times3^0\times5^0$ , 就是 $1$ ；最大的是 $2^3\times3^2\times5^1$ , 也就是 $360$ .

我们可以整理一份表格，第一列是 $360$ 的约数，第二列则是第一列所对应的约数个数。

360的约数	约数的约数个数
$2^0\times3^0\times5^0$	1
$2^1\times3^0\times5^0$	2
$2^2\times3^0\times5^0$	3
$2^3\times3^0\times5^0$	4
$2^0\times3^1\times5^0$	$1\times2\times1$
$2^1\times3^1\times5^0$	$2\times2\times1$
$2^2\times3^1\times5^0$	$3\times2\times1$
$2^3\times3^1\times5^0$	$4\times2\times1$

$2^3\times3^1\times5^1$
$2^0\times3^2\times5^1$	$1\times3\times2$
$2^1\times3^2\times5^1$	$2\times3\times2$
$2^2\times3^2\times5^1$	$3\times3\times2$
$2^3\times3^2\times5^1$	$4\times3\times2$

将约数的约数个数累加起来，得到

$(1+2+3+4)\times(1+2+3)\times(1+2)=180$

对于一个具体的约数，可以写出一批具有倍数关系的约数对，例如，对于 $2^0\times3^2\times5^1$ ，可以写出以下约数对：

$(2^0\times3^2\times5^0,2^0\times3^0\times5^0)$

$(2^0\times3^2\times5^0,2^0\times3^1\times5^0)$

$(2^0\times3^2\times5^0,2^0\times3^2\times5^0)$

$(2^0\times3^2\times5^0,2^0\times3^0\times5^1)$

$(2^0\times3^2\times5^0,2^0\times3^1\times5^1)$

成倍数的约数对的数量=约数的约数数量 - 1

所以，对于360的全体约数，这样的成倍数关系的约数对的数量= $180-24=156$

从360的约数中任取两个不同的数，得到的约数对共有 $C^2_{24}$ 个，也就是 $276$ 个，

$276-156=120$

所以，满足条件的约数对共有 $120$ 个。

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