高中数学纲目

趣味数学：根据对话猜数字~2021年数学花园探秘逻辑A卷题20

2022-06-17 本文已影响0人易水樵

2021年数学花园探秘逻辑A卷题20

C 将两个不同的数分别告诉 A 和 B. 且这两个数都是形如 $m-(\dfrac{1}{2}^n)$ 的数（ $m$ 、 $n$ 均为正整数），然后 C 让 A 和 B 推测谁手上的数更大，结果他们依次有如下对话。

A：“我不知道。”.
B：“我也不知道。”

A：“我还是不知道。”
B：“我也还是不知道。”
C：“这样下去是没用的，无论你们说多少轮，都不可能知道谁的数更大。”

A：“哦……C的话倒是有所提示，不过我还是不知道谁的数大。”
B：“我也不知道。”

A：“我现在知道谁的数比较大了。”
B：“那我现在知道 A 的数是多少了。”

如果他们说的都是对的，A 拿的数是 $a$ ，B 拿的数是 $b$ ，那么算式 $64\times(a+b)$ 的计算结果是多少？

【解析】

这类问题一般用排除法解答。

首先看一下形如 $m-(\dfrac{1}{2}^n)$ 的数有哪些，有什么特征？

注意到 $m$ 、 $n$ 均为正整数，所以满足条件的数从小到大排列有：

$\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{7}{8}, \dfrac{15}{16}, \cdots$

$1\dfrac{1}{2}, 1\dfrac{3}{4}, 1\dfrac{7}{8}, 1\dfrac{15}{16}, \cdots$

$2\dfrac{1}{2}, 2\dfrac{3}{4}, 2\dfrac{7}{8}, 2\dfrac{15}{16}, \cdots$

A要想在第一时间判断谁手上的数更大，只在一种情况下能够做到：自己手上的数是 $\dfrac{1}{2}$ .

A 的第一句话是：“我不知道。”. 就排除了以上情况. 这是本题的突破口，完整的推导过程如下：

A：“我不知道。”.

$\Rightarrow a \ne \dfrac{1}{2} \Rightarrow a \geqslant \dfrac{3}{4}$

B：“我也不知道。”

$\Rightarrow b \ne \dfrac{3}{4} \Rightarrow b \geqslant \dfrac{7}{8}$

A：“我还是不知道。”

$\Rightarrow a \ne \dfrac{7}{8} \Rightarrow a \geqslant \dfrac{15}{16}$

B：“我也还是不知道。”

$\Rightarrow b \ne \dfrac{15}{16} \Rightarrow b \geqslant \dfrac{31}{32}$

C：“这样下去是没用的，无论你们说多少轮，都不可能知道谁的数更大。”

为什么 C 这样说？为什么A说他的话有所提示？意味着什么呢？

试想，假如 $a,b$ 两个数小于 $2$ , 经过以上多轮对话，AB 二人是可以得出结论的。C 说“这样下去是沿用的。” 意味着： $a,b$ 两数大于 1.

继续往下看.

A：“哦……C的话倒是 有所提示，不过我还是不知道谁的数大。”

$\Rightarrow a \ne 1\dfrac{1}{2}, a \geqslant 1\dfrac{3}{4}$ ;

B：“我也不知道。”

$\Rightarrow b \ne 1\dfrac{3}{4}, b \geqslant 1\dfrac{7}{8}$ ;

A：“我现在知道谁的数比较大了。”

$\Rightarrow a = 1\dfrac{3}{4}, \;or\; a = 1\dfrac{7}{8}$ ;

注意：存在两种可能性.

B：“那我现在知道 A 的数是多少了。”

$\Rightarrow b = 1\dfrac{7}{8}, \;or\; b = 1\dfrac{3}{4}$ ;

$64\times(a+b)=64\times(1\dfrac{3}{4}+1\dfrac{7}{8}) =232$

【提炼与提高】

这是小学奥数题中的一个常用套路。没有练过的人会有 “一头雾水”的感觉。练多几次就知道如何解决。

当然，要得出正确结果还是不容易的。

这类问题对于锻炼学生的推理能力和细心、严谨是很有好处的。

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